简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）
共6491题

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简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）
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题型：填空题

填空题

已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是______．

正确答案

实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），(，)

与原点连线的斜率分别为4，2，∴∈[2，4]

a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+

∵在[2，4]上单调增

∴≤+≤4+=

∴a≥1+=

∴实数a的最小值是

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明：＜α＜．

正确答案

（Ⅰ）由f(x)=+clnx，得f′(x)=-+．…（1分）

∵函数f(x)=+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），

∴f′(s)=-+==0，…①且f（s）=+clns=0…．②…（2分）

联立①②得c=e，s=．…（3分）

∴f(x)=+elnx．…（4分）

（Ⅱ）证明：f′(x)=-+．

∵函数f(x)=+clnx的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，

∴直线l的方程为：y=(-+)x，

又∵T在直线l上，∴实数t必为方程+elnt-e=0…．③的解．…（5分）

令g(t)=+elnt-e，则g′(t)=-+=，

解g′（t）＞0得t＞，g′（t）＜0得0＜t＜．

∴函数y=g（t）在(0，]递减，在(，+∞)递增．…（7分）

∵g()=0，且函数y=g（t）在(0，)递减，

∴t=是方程+elnt-e=0在区间(0，]内的唯一一个解，

又∵f()=0，∴t=不合题意，即t＞．…（8分）

∵g（1）=2-e＜0，g(e)=＞0，函数y=g（t）在(，+∞)递增，

∴必有1＜t＜e．…（9分）

（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t）），S(，0)

∴tanα=kST==，

由③得tanα==，…（10分）

∵t＞0，且0≤α＜π，∴0＜α＜．

∵1＜t＜e，∴1＜tanα=＜e，…（11分）

∵tan=1，tan=tan(+)==2+＞e，…（13分）

∴tan＜tanα＜tan，

∵y=tanx在(0，)单调递增，∴＜α＜．…（14分）

题型：简答题

简答题

设函数g(x)=x3+ax2-bx(a，b∈R)，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．

（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；

（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．

正确答案

（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax-b

由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的两个实数

由韦达定理，∴，f（x）=x2-2x-8（7分）

（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，

所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立

这只需满足即可，也即

而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，

所以当时，a2+b2有最小值13．（14分）

题型：填空题

填空题

已知，则()x+y-2的最大值是______．

正确答案

作出不等式组所表示的平面区域，

作出直线x+y-2=0，对该直线进行平移，

求得x+y-2的最小值为-3

所以(

)x+y-2的最大值为8；

故答案为8．

题型：填空题

填空题

函数y=+的定义域是______．

正确答案

要使函数有意义：，

可得解得x∈[-2，1)∪(1，)

所以函数的定义域为：[-2，1)∪(1，)．

故答案为：[-2，1)∪(1，)

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