- 球的体积和表面积
- 共1581题
在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是边长为
正确答案
8π
解析
解：根据已知中底面△ABC是边长为
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是边长为
∴△ABC的外接圆半径r=1，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1
故球的半径R=
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=8π
故答案为：8π．
若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ）
正确答案
解析
解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，
可得它们的表面积分别为S1=4
∵两个球的表面积之比为1：4，
∴
因此，这两个球的体积之比为
即两个球的体积之比为1：8
故选：C
（2015秋•阳江期末）正四面体的棱长为4
正确答案
解析
∵正四面体为4
又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，
∴2R=12
∴R=6，球的表面积为4π×62=144π．
故选：C．
已知正三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形）内接于球O，AB1与底面A1B1C1所成的角是45°，若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是2
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a，则
∵AB1与底面A1B1C1所成的角是45°，
∴高为a，
∵正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是2
∴
∴a=2，
∴底面△A1B1C1的外接圆的半径为
∴球O的半径为
∴球O的表面积是4πR2=
故选：A．
正确答案
解：我们先推导半球的体积．为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察V圆锥、V半球、V圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，
可以发现V圆锥＜V半球＜V圆柱，即
下面进一步验证了猜想的可靠性．关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．下面利用祖暅原理证明猜想．
证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面．
如果截平面与平面α的距离为l，那么圆面半径r=
因此S圆=πr2=π（R2-l2），
S环=πR2-πl2=π（R2-l2），∴S圆=S环．
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V半球=
所以V球=
解析
解：我们先推导半球的体积．为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察V圆锥、V半球、V圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，
可以发现V圆锥＜V半球＜V圆柱，即
下面进一步验证了猜想的可靠性．关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．下面利用祖暅原理证明猜想．
证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面．
如果截平面与平面α的距离为l，那么圆面半径r=
因此S圆=πr2=π（R2-l2），
S环=πR2-πl2=π（R2-l2），∴S圆=S环．
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V半球=
所以V球=
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