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题型:填空题
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填空题

棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在同一个球面上,则此球的体积为______

正确答案

解析

解:∵正四面体为a,将正四面体补成正方体,

∴正方体的棱长是

又∵球的直径是正方体的对角线,设球半径是R,

∴2R=

∴R=

∴球的体积为:

故答案为:

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题型:填空题
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填空题

①棱长为1的正四面体与一个球①若正四面体的四个顶点都在球面上,则这个球的表面积______

②若球与正四面体的六条棱都相切,则这个球的体积______

正确答案

解析

解:①将四面体补成正方体,则正方体的棱长是,正方体的对角线长为:

则此球的表面积为:4π×=π.

②若球与正四面体的六条棱都相切,则这个球的直径就是正四棱锥的对棱的距离,=.半径为,球的体积为:=

故答案为:π;

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题型:填空题
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填空题

底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水______cm3

正确答案

+)π

解析

解:设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4,其中O1,O2为下层两球的球心,A,B,C,D分别为四个球心在底面的射影,则ABCD是一个边长为的正方形.

所以注水高为1+

故应注水π(1+)-4×π(3=(+)π

故答案为:(+)π.

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题型: 单选题
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单选题

(2015秋•北京校级期中)圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,从A绕柱面到另一端C最短距离是(  )

A

B4

C2

D2

正确答案

A

解析

解:把圆柱侧面面展开成一个长方形,长是2π,宽是2,

∴从A绕柱面到另一端C最短距离是

故选:A.

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题型:简答题
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简答题

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=a,PA=PC=

(1)求证:点A在PA为直径的圆上;

(2)若在这个四棱锥内放一球,求此球的最大半径.

正确答案

(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,

∴PD⊥AD,

∴点A在PA为直径的圆上;

(2)解:设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连结SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R.

VP-ABCD=•SABCD•PD=•a•a•a=a3

S△PAD=S△PDC=a2

S△PAB=S△PBC=•a•a=

SABCD=a2

VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+VS-PBC

a3=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+SABCD),

=a3

∴R=(1-)a,

∴球的最大半径是(1-)a.

解析

(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,

∴PD⊥AD,

∴点A在PA为直径的圆上;

(2)解:设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连结SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R.

VP-ABCD=•SABCD•PD=•a•a•a=a3

S△PAD=S△PDC=a2

S△PAB=S△PBC=•a•a=

SABCD=a2

VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+VS-PBC

a3=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+SABCD),

=a3

∴R=(1-)a,

∴球的最大半径是(1-)a.

下一知识点 : 组合体的表面积与体积
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