热门试卷

解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．

由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．

设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．

因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，

∴cosθ=，sinθ=．

在△DMN中，DM=CD=1，DN=•DP=．

由余弦定理得MN2=12+（）2-2•1••=2，

故MN=．

∴四面体ABCD的外接圆的半径OD==．

故四面体ABCD的外接球的半径R=．

AC=BC==，∴CP==，

△CDP中，cos∠CDP=，DP=，CD=2，∴S△CDP==，

设内切球的半径为r，则由等体积可得×（×9+2×+×）r=××3，

∴r=．

故答案为：，．

解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，

则∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角，且为，

则底面BCD是正三角形，

它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，

求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，

而且AD==3，

正三棱柱ABC-A1B1C1的中，底面边长为，

由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，

∴正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，

球心到底面的距离为，

底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××=1，

∴球的半径为r==．

四面体ABCD外接球体积为：=×（）3=．

故答案为：．