- 球的体积和表面积
- 共1581题
正三棱锥的高为1，底面边长为2
（1）棱锥的表面积；
（2）内切球的表面积与体积．
正确答案
解：（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB=2
∴S△ABC=
DE=
S△PAB=S△PBC=S△PCA=
∴S表=9
（2）设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
∵PD=1，∴VP-ABC=
则由等体积可得r=
∴S球=4π（
解析
解：（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB=2
∴S△ABC=
DE=
S△PAB=S△PBC=S△PCA=
∴S表=9
（2）设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
∵PD=1，∴VP-ABC=
则由等体积可得r=
∴S球=4π（
将半径为R的4个球完全装入正四面体中，这个正四面体的高最小值为______．
正确答案
（4+
解析
解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．
于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2R的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为
且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的
∴小正四面体的中心到底面的距离是
所以可知正四棱锥的高的最小值为（
故答案为：（4+
已知各顶点都在一个球面上的正方体棱长为2，则这个球的表面积为______．
正确答案
12π
解析
解：设正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2
∴球的表面积为：S2=4π（
故答案为：12π．
类比“周长一定的平面图形中，圆的面积最大”，则表面积一定的空间图形中，体积最大的是（ ）
正确答案
解析
解：根据平面中有：
“周长一定的平面图形中，圆的面积最大”
类比推断，可得在空间中有”
“表面积一定的空间图形中，球的体积最大”
故选B
已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于______．
正确答案
16π
解析
解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，
矩形周长为2（x+y）≥4
沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的球心为AC的中点，
∵AC=4，∴球的半径为2
∴三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于4π×22=16π
故答案为：16π
扫码查看完整答案与解析