- 球的体积和表面积
- 共1581题
已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，
正确答案
解析
解：根据题意，长方体内接于球，
所以球的直径为该长方体的对角线；
即（2R）2=32+
所以这个球的体积为V球=
故选：D．
如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为______．
正确答案
8：27
解析
解：设两个球的半径分别为r、R，
∵两个球的表面积之比为4：9，
∴4πr2：4πR2=4：9，即r2：R2=4：9，解之得r：R=2：3
因此，两个球的体积之比为8：27．
故答案为：8：27．
已知一个正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
正确答案
设正四面体ABCD的棱长为a，则正方体的棱长为
正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，
球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为2R，
∵正方体的棱长为
∴R=
正四面体ABCD外接球与内切球的两球球心重合，设为O．
设DO的延长线与底面ABC的交点为E，则DE为正四面体的高，DE⊥底面ABC，
且DO=R，OE=r，OE=正四面体PABC内切球的半径．
设正四面体ABCD底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V1=
从而有，4•V1=V2，
所以，4•
所以，
∴这两个球的表面积之比为1：9，体积之比为1：27．
解析
设正四面体ABCD的棱长为a，则正方体的棱长为
正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，
球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为2R，
∵正方体的棱长为
∴R=
正四面体ABCD外接球与内切球的两球球心重合，设为O．
设DO的延长线与底面ABC的交点为E，则DE为正四面体的高，DE⊥底面ABC，
且DO=R，OE=r，OE=正四面体PABC内切球的半径．
设正四面体ABCD底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V1=
从而有，4•V1=V2，
所以，4•
所以，
∴这两个球的表面积之比为1：9，体积之比为1：27．
球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（ ）
A
B
C
Dπ
正确答案
解析
解：设：正方体边长设为：a
则：球的半径为
所以球的表面积S1=4•π•R2=4π
而正方体表面积为：S2=6a2
所以比值为：
故选C
若空间一点P到两两垂直的射线OA，OB，OC的距离分别为a，b，c，则以OP为半径的球的表面积为 ______．
正确答案
2（a2+b2+c2）π
解析
设长方体的三度为x，y，z，根据勾股定理有：a2=x2+y2 b2=x2+z2c2=z2+y2所以a2+b2+c2=2（x2+z2+y2）=2OP2以OP为半径的球的表面积：4πOP2=2（a2+b2+c2）π
故答案为：2（a2+b2+c2）π．
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