球的体积和表面积
共1581题

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题型：填空题

填空题

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为______cm．

正确答案

解析

解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，

在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．

由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13

故答案为：13．

题型：简答题

简答题

已知点A、B、C都在球面上且球心O到平面ABC的距离等于球的半径的，而AB=2，AC=2，BC=2，设三棱椎O-ABC的体积为V1，球的体积为V2，求．

正确答案

解：由题意AB=2，AC=2，BC=2，∵AB2+AC2=BC2，可知三角形是直角三角形，

三角形的外心是BC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，

设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，

所以R2=（R）2+32，

解得R2=36，

∴V2=144π，V1==2，

∴=．

解析

解：由题意AB=2，AC=2，BC=2，∵AB2+AC2=BC2，可知三角形是直角三角形，

三角形的外心是BC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，

设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，

所以R2=（R）2+32，

解得R2=36，

∴V2=144π，V1==2，

∴=．

题型：填空题

填空题

已知三棱锥P-ABC，PA⊥面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______．

正确答案

12π

解析

解：∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，

∴PA⊥BC

∵AB⊥BC，PA∩AB=A

∴BC⊥面PAB

∵PB⊂面PAB

∴BC⊥PB

取PC的中点O，则OP=OA=OB=OC，∴O为球心

∵PA=2，∴PC=2

∴球半径为r=

∴该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=12π

故答案为：12π．

题型：单选题

单选题

四面体A-BCD中，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，则四面体外接球的表面积为（　　）

A33π

B43π

C36π

D18π

正确答案

解析

解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，EF是AB与CG的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）

，，所以，

球半径，

所以外接球的表面积为，

故选A．

题型：单选题

单选题

已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=，BC=1，AA1=2，则该长方体的外接球体积为（　　）

A8π

Bπ

Cπ

D12π

正确答案

解析

解：长方体的外接球与长方体的关系为长方体的对角线长为球的直径，

则长方体的对角线长为==2，

即有球的直径为2，半径为，

即球的体积为π×（）3=π．

故选B．

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