- 球的体积和表面积
- 共1581题
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°，则长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°，
∴BC=DC=
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为
因此，该长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为V=
故选：A．
设△ABC的三个顶点都在半径为3的球上，且AB=
．
正确答案
解析
解：因为△ABC的三个顶点都在半径为3的球上，且AB=
∴△ABC为直角三角形，
∴A，B，C在半径为1的球小圆上
∴平面ABC截球O得小圆，该小圆半径为r=AD=1，
设AC中点（即小圆圆心）为D，连接OD、OA、OB、OC
∵OD⊥平面ABC，即OD为三棱锥的高
∴Rt△OAD中，OD=
因此，三棱锥O-ABC的体积为V=
故答案为：
若正四面体的棱长伟a，则其外接球的表面积为______．
正确答案
解析
解：若正四面体的棱长为a，
则正四面体的外接球半径为
则其外接球的表面积S=4πR2=
故答案为：
（1）求异面直线AB与DE所成的角；
（2）若M，N分别为棱AC，BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值；
（3）在三棱锥D-ABC的外接球面上，求A，B两点间的球面距离和外接球体积．
正确答案
∵AD=BD=
又∵DE=DF=2，∴异面直线AB与DE所成角为60°
（2）如图，以C为顶点的侧面展开图，依题意即求DD1的长
∵∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，∴∠ACB=60°
∴∠DCD1=150°，CD=CD1=
∴
（3）∵
∴
解析
∵AD=BD=
又∵DE=DF=2，∴异面直线AB与DE所成角为60°
（2）如图，以C为顶点的侧面展开图，依题意即求DD1的长
∵∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，∴∠ACB=60°
∴∠DCD1=150°，CD=CD1=
∴
（3）∵
∴
连接球面上经过球心的两点形成的线段是球的______．
正确答案
直径
解析
解：连接圆上经过圆心的两点形成的线段是圆的直径，所以连接球面上经过球心的两点形成的线段是球的直径．
故答案为：直径．
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