直线的方向向量
共206题

· 直线的方向向量

直线的方向向量
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题型：简答题

简答题

如图3，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，求点到平面的距离．

正确答案

建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则．

从而．

由，得，

则．

自作面于，并延长交面于，设，

则．

又，．

由得．

又．

题型：简答题

简答题

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1。

（1）请在线段CE上找到一点F，使得直线BF∥平面ACD，并证明；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

正确答案

（1）点F应是线段CE的中点（2）

试题分析：解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，，，，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为

，∴

，而是平面ACD的一个法向量，此即证得BF∥平面ACD；

（2）设平面BCE的法向量为，则，且，

由，，

∴，不妨设，则，即，

∴所求角满足，∴；

点评：在立体几何中，常考的知识点是：几何体的表面积与体积、直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和二面角。对于二面角，建立空间直角坐标系能使问题简化。

题型：填空题

填空题

已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．

正确答案

如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）

设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,

由可解得＝（1，0，1）

设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

已知是边长为2的等边三角形，平面，，是上一动点．

（1）若是的中点，求直线与平面所成的角的正弦值；

（2）在运动过程中，是否有可能使平面？请说明理由．

正确答案

（1）解：取AC中点E，AP的中点F，连结FE、BE、则FE∥PC，BE A C

∴FE面ABC

建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(0,-1,0) B(,0,0) C(0,1,0) P (0,1,) F (0,1,) …………2分

设是平面PBC的法向量，，则＝0，且＝0，∴且

取＝－1，＝－，＝0，则 …………4分

由题设是的中点，则D与F重合，即D的坐标为(0,1,)

∴

…………6分

∴直线BD与面PBC所成角正弦值为 …………7分（2）(0,2,) (-,1,0) …………9分

20 ∴AP不垂直于BC

∴AP不可能垂直于面DBC，即不存在D点，使AP面DBC …………12分

略

题型：简答题

简答题

如图所示，在长方体OABC－OABC中，｜OA｜＝2，｜AB｜＝3，｜AA｜＝2，E是BC的中点。

（1）求直线AO与BE所成角的大小；

（2）作OD⊥AC于D。求点O到点D的距离。

正确答案

（1）AO与BE所成角的大小为arccos（2）

如图所示，建立空间直角坐标系。

（1）由题设知，A（2，0，0），O（0，0，2），B（2，3，2），E（1，3，0）。

∴＝（－2，0，2），＝（－1，0，－2）。

∴cos＜，＞＝＝－。

∴AO与BE所成角的大小为arccos。

（2）由题意得⊥，//。∵C（0，3，0）。设D（x，y，0），

∴OD＝（x，y，－2），＝（x－2，y，0），＝（－2，3，0）。

∴，∴ 。∴D（，，0）。

∴｜OD｜＝｜｜＝

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