热门试卷

(1) 参考解析；(2) ； (3)

试题分析：(1)因为要证平面即直线与平面垂直的证明，通过证明这条直线垂直平面内的两条相交直线即可，依题意易得到.

(2)因为要求二面角的余弦值，一般是通过建立空间坐标系，写出相应的点的坐标，由于AC所在的向量就是平面EDB的法向量，所以关键是通过待定系数法求出平面EFB的法向量.再通过两法向量的夹角得到两平面的二面角的大小，二面角是钝角还是锐角通过图形来确定.

(3)因为点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面.通过对点M的假设写出向量AM.从而由该向量垂直平面的法向量，即可得到相应的点M的坐标.

试题解析：(1)证明： 因为平面，   所以.

因为是正方形，所以，又相交

从而平面.  

(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为， 即，

所以.由可知，.

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则. 因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 

(3)解：点是线段上一个动点，设. 则，

因为平面，所以,

即，解得.

此时，点坐标为，，符合题意. 

（1）详见解析；（2） 详见解析；（3）.

试题分析：（1）利用三角形的中位线定理证明；（2）证明平面，再证；（3）用向量法求解.

试题解析：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，

所以，//平面.

（2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，，

而，所以平面，又平面，所以.

（3）存在满足条件的.

依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，所，

易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，

则，又二面角的大小为，

所以，解得.

故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.

（1）见解析（2）

(1)证明　取AB的中点O，连接EO，CO，∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB为等腰直角三角形，∴EO⊥AB，EO＝1，又∵AB＝BC，∠ABC＝60°.

∴△ACB是等边三角形，∴CO＝，又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO.

又∵CO∩AB＝O，∴EO⊥平面ABCD，又EO⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD.

(2)解　以AB中点O为坐标原点，分别以OC，OB，OE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0,1)．

∴＝(，0，－1)，＝(0,2,0)，＝(0,1,1)．

设平面CDE的法向量n＝(x，y，z)，

令z＝1，解得

∴平面CDE的一个法向量n＝，设直线AE与平面CDE所成角为θ.

∴sin θ＝＝＝.

∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值是.

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，先证直线DE⊥面AA1C1C，再证BF⊥面AA1C1C，得D，E，F，B共面，再证DB∥EF ，从而有EF∥AA1，易得所证结论；（2）法1：建立空间直角坐标系，找出所需点的坐标，分别设出面DA1C和平面AA1DB的法向量，并列方程计算出来，再利用向量的数量积计算两向量的夹角的余弦值，便可得得值；法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，证明∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角，在CHB中，根据条件计算的表达式，可得结论.

试题解析：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF.

∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C，∴直线DE⊥面AA1C1C ，3分

又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C

由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，

又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝  AA1＝  BB1，所以D点为棱BB1的中点；  6分

（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，则D（0,0,b）,  A1 (a,0,2b),  C (0,a,0)，                                                  7分

所以， ,                          8分

设面DA1C的法向量为则 可取,

又可取平面AA1DB的法向量,

cos〈〉,          10分

据题意有：，                               12分

解得： ＝ .                                      13分

解法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，

过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角；                     9分

设AA1＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG.

在DBG中，BH ＝  ＝ ，                    10分

在CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，

据题意有： ＝ tan600 ＝  ，

解得：所以 ＝ .                           13分