热门试卷

（Ⅰ）以O点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则，，，，

，     

（Ⅱ）设平面EOF的法向量为，则

，即，令，则，

得，

又平面FOA的法向量 为 ，，

二面角E-OF-A的余弦值为.                            

（Ⅲ），

∴点D到平面EOF的距离为. 

略

 , 

方法一：（1）根据已知在长方体，

在中， ，（3分）

同理可求，，（理3分，文4分）

∴，∴，即。（6分）

（2）设点到平面的距离为，连结，则 ，

∴，（8分）

而，在中，，（10分）

，所以，∴，

即点到平面的距离为，

故与平面所成角的正弦值为．（12分）

方法2：（1）以点为原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（2分）

依题意，可得 。（4分）

∴，

，

∴ ，

即，∴。（6分）

（2）设，且平面，则

 ，即，

∴解得，

取，得，所以与平面所成角的正弦值为

。（12分）

(1)证明略(2) 平面EFGH∥平面ABCD

（1） 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有=，

=，=， =

∴=+

=（-）+（-）

=（-）+（-）

=（+）

又∵=-=-=

∴=（+）,∴=+

由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面.

(2) 由（1）得=,故∥.

又∵平面ABC，EG平面ABC.

∴EG∥平面ABC.

又∵=-=-=

∴MN∥EF，又∵MN平面ABC，EF平面ABC，

EF∥平面ABC.

∵EG与EF交于E点，

∴平面EFGH∥平面ABCD.