热门试卷

(1) 点E的坐标是（1，1，1）(2) F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB

  (1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），

设P（0，0，2m），则E（1，1，m），

∴=（-1，1，m），

=（0，0，2m）.

∴cos〈,〉==.

解得m=1,∴点E的坐标是（1，1，1）.

（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）.

则=（x-1，-1，z-1），

又=（2，0，0），=（0，2，-2）

∵EF⊥平面PCB

∴⊥，且⊥

即

∴

∴，∴F点的坐标为（1，0，0）

即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.

AB与平面BDF所成角的正弦值为.

以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.

∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.

设平面BDF的一个法向量为

n=（2，a，b），

∵n⊥，n⊥，

∴

即

解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.

设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，

∴cos（-）===,

即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.

因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，

又平面，所以，……………………………………… 2分

又点是棱的中点，且为正三角形，所以，

因为，所以平面，………………………………4分

又因为平面，所以．………………………………6分

(2)连接交于点，再连接．………7分

因为四边形为矩形，

所以为的中点，………………8分

又因为为的中点，

所以.………………………10分

又平面，平面，

所以平面．

略