直线的方向向量
共206题

· 直线的方向向量

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题型：填空题

填空题

已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．

正确答案

45°

设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，

则平面PAC的法向量为n＝(1,0,0)，D，A0，－a,0，P，M，＝，所以cos 〈，n〉＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.

题型：简答题

简答题

如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，点分别为棱的中点，，求点到平面的距离．

正确答案

点到平面的距离为

如图，建立空间直角坐标系，

易得，．

故，

设是平面的法向量，

令，得，

则．

故点到平面的距离为．

题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥中，是正三角形，，D是的中点，二面角为120，，.取AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，BD交z轴于点E.

（I）求B、D、P三点的坐标；

（II）求异面直线AB与PC所成的角；

正确答案

（I）B的坐标是；点D的坐标是；点P的坐标是；

（II）异面直线AB与PC所成的角是；

（I）是AC的中点，且AC=AB=BC=2，，于是，点B的坐标是；又平面轴，且平面与二面角两个面的交线分别是、，就是二面角的平面角，于是且，又，，，

所以，点D的坐标是即；

点P的坐标是即；

（II），，，

所以，异面直线AB与PC所成的角是；

题型：填空题

填空题

如图，正方体的棱长为1，点在侧面及其边界上运动，并且总保持平行平面，则动点P的轨迹的长度是 _______ ．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

如图，在边长为的正方体中，、分别是、的中点，试用向量的方法：

求证：平面；

求与平面所成的角的余弦值.

正确答案

（1）要证明线面垂直可以借助于向量法来得到也可以利用线面垂直的判定定理来得到。

（2）

试题分析：解：如图：以点D位坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系……2分

（1），

1分

3分

又

， 5分

（2）

由（1）可知平面ADE的法向量 6分

8分

设与平面所成的角为

与平面所成的角的余弦值为 10分

点评：主要是考查了线面角的求解，以及线面垂直的证明，属于基础题。

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