数列求和、数列的综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，。

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若≥，，求实数的最小值；

（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，

若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”，问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：

（1），，，当时，

=2，所以为等比数列。，。

（2）由（1）可得

；，，

所以，且，所以的最小值为

（3）由（1）当时，

当时，，，

所以对正整数都有。

由，，(且)，只能是不小于3的奇数。

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没有“指数型和”。

知识点

等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床，型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年），若第1年型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年型车床创造的价值是上一年价值的50%，现用（）表示型车床在第年创造的价值。

（1）求数列（）的通项公式；

（2）记为数列的前项和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用型车床，否则更换型车床，试问该企业须在第几年年初更换型车床？（已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）。

正确答案

见解析

解析

（1）由题设，知，，…，构成首项，公差的等差数列。

故（，）（万元）。（3分）

，，…，（，）构成首项，公比的等比数列。

故（，）（万元），　　　　　　　　（6分）

于是，（）（万元），　（7分）

（2）由（1）知，是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列。

当时，，单调递减，（万元）。

所以（万元）。

当时，，　（9分）

当时，（万元）；当时，（万元），　　（13分）

所以，当，时，恒有。

故该企业需要在第11年年初更换型车床，　　　　　　　　　　　　　（14分）

知识点

数列与函数的综合等差数列与等比数列的综合

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小；

正确答案

见解析

解析

解析：（1）依题意点的坐标为，，

（2分）

（6分）

（2），由，，

（9分）

当时，

（13分）

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合反证法与放缩法

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

定义在R上的函数f (x)，满足f (m+n2) = f (m)＋2[ f (n) ]2，m, n R,且f （1）:≠0,则f（2014）的值为＿＿＿＿

正确答案

1007

解析

令m＝n＝0得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1得f(0＋12)＝f(0)＋2[f（1）]2.由于f（1）≠0，所以f（1）＝；令m＝x，n＝1得f(x＋12)＝f(x)＋2[f（1）]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×()2，f(x＋1)＝f(x)＋，这说明数列{f(x)}(x∈Z)是首项为，公差为的等差数列，所以f(2014)＝＋(2014－1)×＝1007.

知识点

数列与函数的综合

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数对任意的实数都有，且，则

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解析：由累加法得.

另解：变换后可认为，是等差数列，易求得f（2013）=.

知识点

等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值数列与函数的综合

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知数列的首项其中，令集合．

（Ⅰ）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）当时，求集合中元素个数的最大值．

正确答案

解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3.

（II）若被3除余1，则由已知可得,；

若被3除余2,则由已知可得,,；

若被3除余0，则由已知可得,；

所以，

所以

所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.

因为，所以.

所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）

若,则；若,则,若,则,

由递推关系易得.

（III）集合中元素个数的最大值为21.

由已知递推关系可推得数列满足：

当时，总有成立，其中.

下面考虑当时，数列中大于3的各项：

按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，

由（II）的证明过程可知数列的项满足：

，且当是3的倍数时，若使最小，需使，

所以，满足最小的数列中，或7，且，

所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，

所以或，即或，

因为，所以，当时，的最大值是6，

所以，所以集合重元素个数的最大值为21.

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知识点

元素与集合关系的判断由数列的前几项求通项数列与函数的综合

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

17．已知函数,数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）令求

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值数列与函数的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，（），数列的通项公式为（）．

正确答案

5；

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知函数（常数）的图像过点．两点。

（1）求的解析式；

（2）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若是函数图像上的点列，是正半轴上的点列，为坐标原点，是一系列正三角形，记它们的边长是，探求数列的通项公式，并说明理由。

正确答案

（1）把和

分别代入

可得：

化简此方程组

可得：

即

可得，

，

代入原方程组可得：

（2）由题意知：为的反函数，

（）

即当恒成立

即当恒成立，

只需求函数在上的最小值即可，

又在单调递增，

，

（3）由联立可解得：，

即，

----12’

的边长为，

此三角形的高即点的纵坐标为

，

，两式相减可得：

即数列为公差为的等差数列

又，

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知识点

函数解析式的求解及常用方法数列与函数的综合不等式恒成立问题

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．　已知：二次函数的图象过点，且。

（1）求：的解析式；

（2）若数列满足，且，求：数列的通项公式；

（3）对于（2）中的数列，求证：

①；

②。

正确答案

解：（1）由，

∴　　

解得，即；

（2）∵，

∴ ，由叠加得，　

∴；

（3）①（）

当时，

②∵（），

∴，

，

即。

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知识点

函数解析式的求解及常用方法由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与函数的综合数列与不等式的综合

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