数列求和、数列的综合应用
共491题

数列求和、数列的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设等差数列的公差为,是中从第项开始的连续项的和,即

(1) 若,,成等比数列,问:数列是否成等比数列?请说明你的理由;

(2) 若,证明:.

正确答案

见解析。

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，，因为，所以，解得

（2）当时，

所以 ①分，所以 ②，由②-①得，…

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以

（3）当时，，当时， …

所以

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，且满足。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1），，

又，

是首项为，公比为的等比数列，且，

（2）当时，，

当时，，

故，

，

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知动圆与直线相切，并与定圆相内切.

（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程.

（2）过原点作斜率为1的直线交曲线C于（为第一象限点），又过作斜率为的直线交曲线C于，再过作斜率为的直线交曲线C于……如此继续，一般地，过作斜率为的直线交曲线C于，设.

①令，求证：数列是等比数列；

②数列的前n项和为，试比较大小.

正确答案

见解析

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合定义法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知正项数列满足（）.

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）证明：.

正确答案

见解析。

解析

（1）

方法一：因为，所以，

故，当且仅当时，等号成立.

方法二：

因为，所以，

故，当且仅当时，等号成立.

（2）由（1）知，又，

所以，所以.

（3）先证：

当n=1时，不等式显然成立；

假设当n=k（）时不等式成立，即.

当n=k+1时，由得，

即当n=k+1时，不等式成立；

综上，对一切都有成立.

再证：

由及（），得（），

所以当n=1时，不等式显然成立；

当时，假设存在k，使得，

则有，即，

所以，，┅，，，

与题设矛盾.

所以对一切都有成立.

知识点

数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列{}的前n项和，求；

（3）设，证明：.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，当时，有，

两式相减得即.

由，得.

所以对一切正整数n，有，

故，即.

（2）由（1），得，

所以 ①

①两边同乘以，得 ②

①-②，得，

所以，

故.

（3）由（1），得

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列成等差数列.

（1）的通项公式；

（2）数列.

正确答案

见解析。

解析

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

在数列中，若（，，为常数），则称为数列。

（1）若数列是数列，，，写出所有满足条件的数列的前项；

（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；

（3）若数列满足，，，设数列的前项和为。是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由是数列，，，有，

于是,

所有满足条件的数列的前项为：

；；；， ------------------4分

（2）（必要性）设数列是等比数列，（为公比且），则

，若为数列，则有

（为与无关的常数）

所以，或， ------------------2分

（充分性）若一个等比数列的公比，则，，所

以为数列；

若一个等比数列的公比，则，

，

所以为数列， ------------------4分

（3）因数列中，则

，

所以数列的前项和 ------------------1分

假设存在正整数使不等式对一

切都成立，即

当时，，又为正整数，

， -----------------3分

下面证明：对一切都成立。

由于

所以

------------------5分

知识点

充要条件的应用数列与不等式的综合不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

正项数列的前项和为满足：。

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有。

正确答案

见解析

解析

（1），，解得

当时，；

当时，（不适合），所以

（2）当时，，；

当时，，

综上，对于任意的，都有。

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

设an是函数f（x）=x3+n2x﹣1（n∈N+）的零点。

（1）证明：0＜an＜1；

（2）证明：。

正确答案

见解析。

解析

解：（1）∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=n2＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，

∴f（x）在（0，1）内有零点，

∵f′（x）=3x2+n2＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，

而an是函数f（x）=x3+n2x﹣1（n∈N+）的零点，

∴0＜an＜1；

（2）先证明左边的不等式，因an3+n2an﹣1=0，由（1）知0＜an＜1，

∴a＜an，即1﹣n2an=a＜an。

∴an＞，∴a1+a2+…+an＞++…+①

∵an＞≥=，

∴a1+a2+…+an＞1﹣+﹣+﹣+…+=，

再证明右边的不等式，由于f（）=+﹣1=﹣＜0，f（）=＞0，

∴＜a1＜，

由（1）知，0＜an＜1，且an3+n2an﹣1=0，

∴an=，

∵当n≥2时，a1+a2+…+an＜++﹣+﹣+…+﹣=1+﹣＜，

∴当n∈N*时，a1+a2+…+an＜，

综上，。

知识点

函数零点的判断和求解数列与不等式的综合

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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