数列求和、数列的综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等差数列的各项均为正数，，且，，成等比数列．

17.求的通项公式；

18.设，求数列的前n项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

试题分析：本题属查了等差和等比数列及裂项相消法求和，（1）根据已知条件构造方程解出公差d，再求出通项公式；（2）利用裂项相消法求解。

（I）由题意设，

得,;

考查方向

本题考查了等差和等比数列及裂项相消法求和。

解题思路

本题考查了等差和等比数列及裂项相消法求和，解题步骤如下：（1）根据已知条件构造方程解出公差d，再求出通项公式；（2）利用裂项相消法求解。

易错点

不会利用裂项相消法解题。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

试题分析：本题属查了等差和等比数列及裂项相消法求和，（1）根据已知条件构造方程解出公差d，再求出通项公式；（2）利用裂项相消法求解。

（II）

考查方向

本题考查了等差和等比数列及裂项相消法求和。

解题思路

本题考查了等差和等比数列及裂项相消法求和，解题步骤如下：（1）根据已知条件构造方程解出公差d，再求出通项公式；（2）利用裂项相消法求解。

易错点

不会利用裂项相消法解题。

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.已知数列的前n项和Sn=10n-n2(n∈N+),则数列的前n项和Tn为　　　　.

正确答案

解析

当n=1时,a1=S1=9；当n≥2时,an=Sn-Sn-1=11-2n,

由于n=1时,a1=9也满足11-2n,

因此an=11-2n.

(1)当n>5时,

(2)当n≤5时,

综合(1)(2),得

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值分组转化法求和

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题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列的前项和为，且满足。

（1）求，的值；

（2）求；

（3）设，数列的前项和为，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，有，解得。

当时，有，解得。

（2）（法一）当时，有, ………①

。 …………②

①—②得：，即：。

。

另解：。

又当时，有，。

（法二）根据，，猜想：。

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，有，猜想成立。

（2）假设当时，猜想也成立，即：。

那么当时，有，

即：，①

又， …②

①-②得：，

解，得。

当时，猜想也成立。

因此，由数学归纳法证得成立，

（3），

。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数满足如下条件：当时，，且对任意，都有。

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求当，时，函数的解析式；

（3）是否存在，，使得等式

成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）时，，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为

，即。

（2）因为，

所以，当，时，，

。

（3）考虑函数，，，

则，

当时，，单调递减；

当时，；

当时，，单调递增；

所以，当，时，，

当且仅当时，。

所以，

而，

令，则，

两式相减得，

。

所以，，

故。

所以，。

当且仅当时，

。

所以，存在唯一一组实数，，

使得等式成立。

知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义错位相减法求和

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列的前项和为，且，对任意N，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）解法1：当时，，，

两式相减得，

即，得.

当时，，即.

∴数列是以为首项，公差为的等差数列。

∴.

解法2：由，得，

整理得，，

两边同除以得，.

∴数列是以为首项，公差为的等差数列。

∴.

当时，.

又适合上式，

∴数列的通项公式为.

（2）解法1：∵，

∴.

∴，①

，②

①②得.

∴.

解法2：∵，

∴.

由，

两边对取导数得，.

令，得.

∴ .

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

若数列的各项均为正数，，为常数，且.

27.求的值；

28.证明：数列为等差数列；

29.若，对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使，，成

等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（1）由条件，设

令，得①，令，得 ②

①—②，得，，

……………………………………4分

考查方向

等差数列的性质及应用

求数列的通项公式和前N项和

解题思路

令n=1,代入数值即可求出答案

易错点

等差数列相关性质掌握混淆，计算化简能力弱，不能想到用作差法求数列

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（2）③， ④，

④—③，得 ……………………………7分

数列为常数数列，

，数列为等差数列. ……………10分

考查方向

等差数列的性质及应用

求数列的通项公式和前N项和

解题思路

根据第一问得到的答案，利用作差发，得到新数列为娼数列，所以数列an为等差数列

易错点

等差数列相关性质掌握混淆，计算化简能力弱，不能想到用作差法求数列

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（3）由（2）知，数列为等差数列，设公差为，

则由条件，得

，又数列的各项为正数，

，，.……………………………………12分

当k＝1时，若存在p，r使，，成等差数列，则＝－1＝≤0.

与>0矛盾．因此，当k＝1时，不存在． ………………… 14分

当k≥2时，则＋＝，所以r＝.

令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，满足k<p<r．

综上所述，当k＝1时，不存在p，r；

当k≥2时，存在一组p＝2k－1，r＝k(2k－1)满足题意． …… 16分

考查方向

等差数列的性质及应用

求数列的通项公式和前N项和

解题思路

由条件求出数列{an}的通项公式，由此推导出当k=1时，不存在p，r满足题设条件；当k≥2时，存在令p=2k-1得r=kp=k（2k-1），满足题设条件

易错点

等差数列相关性质掌握混淆，计算化简能力弱

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．已知数列{}的首项a1＝1，前n项和，且数列{}是公差为2的等差数列．

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若＝，求数列{}的前n项和．

正确答案

an=4n-3;

解析

⑴解：由已知条件: 当时，当时，而，，

⑵解：由⑴可得当为偶数时，当为奇数时，为偶数综上，

考查方向

本题主要考查数列的综合运算

解题思路

1、求出an；

2、利用公式分类讨论，即可得到结果。

易错点

本题易在分类讨论时发生错误。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用分组转化法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

正确答案

（1）

当且时，；

当且时，．而，

（2）当时，．

当时，

由得，

即，

解得

到2029年累积发放汽车牌照超过200万张

解析

本题属于数列的应用题，题目的难度是中等，本题的关键是：

（1）、从所给的数列中找出规律，并求出两数列的通项公式；

（2）、再根据数列的通项公式的分段函数性质，求出各自的前n项和，最后利用函数的性质给出答案。这类数列的应用题型较为常见。

考查方向

本题考查了数列与函数之间的综合应用，特别是分段函数与数列的应用

易错点

1、分类讨论：和的区别2、分类讨论的前n项和与的前n项和

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．设数列{an}满足＋2n＝，n∈N*，且a1＝1．

(1)求证数列是等比数列；

(2)求数列{an}的前项和.

正确答案

（1）略

（2）

解析

(1) 解　由条件可得.∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，

两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则，又＋4＝9，知（），经计算当时，也成立，所以

是首项为3，公比为3的等比数列，

(2)法一：由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1直接可得

法二：直接求和公式.

考查方向

本题主要考查等比数列的定义以及与之间的关系等知识。

解题思路

利用等式再结合等比数列的定义和前n项和公式求得答案。

易错点

第一问没有验证时也成立这一特例。

知识点

等比数列的判断与证明分组转化法求和

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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知识点

正确答案

正确答案

解析

知识点

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易错点

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易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

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易错点

知识点

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考查方向

易错点

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点