抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共784题

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抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

下列五个命题，其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）．

（1）已知C：+=1（m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．

（2）在椭圆+=1上有一点P，F1、F2是椭圆的左，右焦点，△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个．

（3）曲线+=1(m＜6)与曲线+=1(5＜m＜9)的焦距相同．

（4）渐近线方程为y=±x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是-=1

（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，)．

正确答案

（1）当m=-3时，椭圆的方程变为C：+=1表示一个圆，故错；

（2）F1、F2是椭圆 +=1(a＞b＞0)的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，

∴以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径r=c≥b，

∴圆与椭圆最多有4个交点，∴，△F1PF2为直角三角形则这样的点P最多有4个．故错；

（3）曲线+=1(m＜6)与曲线+=1(5＜m＜9)的焦距都为4，相同，故正确；

（4）根据题意，近线方程为y=±x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是-=λ(λ≠0)故错；

（5）整理抛物线方程得x2=y，p=

∴焦点坐标为 (0，)故正确．

故答案为：（3）（5）

题型：填空题

填空题

设过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是______．

正确答案

由题知抛物线焦点为（1，0）

设焦点弦方程为y=k（x-1）

代入抛物线方程得所以k2x2-（2k2+4）x+k2=0

由韦达定理：

x1+x2=

所以中点M横坐标：x==

代入直线方程，中点M纵坐标：

y=k（x-1）=．即中点M为（，）

消参数k，得其方程为：y2=2x-2，

当线段PQ的斜率存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，

故答案为：y2=2（x-1）

题型：填空题

填空题

过定点P（1，4）作直线交抛物线C：y=2x2于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交于点M，则点M的轨迹方程为______．

正确答案

设M（x，y），P（x0，y0），则直线AB的方程为：（y+y0）=2xx0，

将P（1，4）代入方程得点M的轨迹方程：y=4x-4．

故答案为：y=4x-4．

题型：简答题

简答题

在直线L：x-y+9=0上任取一点p以椭圆+=1的焦点为焦点作椭圆．

（1）p在何处时，所求椭圆的长轴最短；

（2）求长轴最短的椭圆方程．

正确答案

（1）可知焦点是F1（-3，0），F2（3，0）．由椭圆定义可知长轴长2a=|MF1|+|MF2|

要使长轴长最短，实际上就是在直线x-y+9=0上找一点M，到F1，F2的距离之和最小．

设F1关于x-y+9=0的对称点是A（t，s），

则-+9=0，

又=-1，

解得t=-9，s=6，即A（-9，6），，此时M（-5，4）．

（2）由（1）可知最短长轴长是|AF2|=6

由a=3，c=3得b=6

所以方程为+=1

题型：填空题

填空题

椭圆+=1关于抛物线y2=-4x的准线l对称的椭圆方程是______．

正确答案

抛物线y2=-4x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=4

∴=1

∴抛物线y2=-4x的准线方程为x=1，

设已知椭圆上的点坐标为（x0，y0），其关于x=1的对称点坐标为（x，y）

依题意可知x0=-x+2，y0=y

把点（x0，y0）代入椭圆+=1得+=1，即+=1．

故答案为：+=1．

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