- 抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共784题
已知抛物线C：y2=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设
（Ⅰ）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）若λ∈[
正确答案
（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）
∵
∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，∴y12=λ2y22，y12=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2
∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ-1）=（λ-1）
∵λ≠1，∴x2=
由抛物线C：y2=4x，得到F（1，0），
∴
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x2=
则|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x12+x22+y12+y22-2（x1x2+y1y2）=（λ+
λ∈[
当λ+
此时Q（3，±2
kPQ=±
则直线PQ的方程为：
以下命题：
①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
②过圆上的点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2；
③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；
④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．
其中正确命题的标号是______．
正确答案
①两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，且截距不等，故①不正确，
②过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．②正确，
③不正确，若平面内到两定点距离之和等于常数，如这个常数正好为两个点的距离，则动点的轨迹是两点的连线段，而不是椭圆；
④根据抛物线的定义知：抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．故④正确．
故答案为：②④．
过抛物线y2=4x的焦点，且被圆x2+y2-4x+2y=0截得弦最长的直线的方程是______．
正确答案
抛物线y2=4x的焦点为（1，0），圆x2+y2-4x+2y=0 即 （x-2）2+（y+1）2=5，圆心为（2，-1），
由弦长公式可知，要使截得弦最长，需圆心到直线的距离最小，故直线过圆心时，弦最长为圆的直径．
由两点式得所求直线的方程 
故答案为：x+y-1=0．
已知点O为抛物线y2=6x的顶点，△OAB的另外两个顶点A，B也在此抛物线上，若△OAB的垂心恰为抛物线的焦点F，则直线AB的方程为______．
正确答案
由题意可得 F（
由垂心的性质可得 OA⊥BF，故 
故答案为：x=
过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为12
正确答案
抛物线的焦点坐标为F（0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0
由
由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=-p2
所以梯形ABCD的面积为：S=
所以3
故答案为2．
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