- 抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共784题
以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______．
正确答案
∵抛物线y2=4x
∴焦点（1，0）
∴所求圆的圆心为（1，0）
又∵所求圆过坐标原点
∴所求圆的半径R=1
∴所求圆的方程为（x-1）2+y2=1即x2-2x+y2=0…
故答案为：x2-2x+y2=0．
已知圆C经过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y2=8x的焦点，则圆C的方程为______．
正确答案
抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点坐标分别为A（-1，0），B（0，2），
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
将A、B、F三点的坐标代入圆的方程得：
解得
于是所求圆的方程为x2+y2-x-y-2=0．
即(x-
1
2
)2+(y-
1
2
)2=
故答案为：(x-
1
2
)2+(y-
1
2
)2=
已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px （p＞0）的准线相切，则p=______．
正确答案
抛物线y2=2px （p＞0）的准线为 x=-
表示以（3，0）为圆心，半径等于4的圆．
由题意得 3+
故答案为2．
已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F（-1，0）的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=x+b与曲线C交于点A，B，问在直线l：y=2上是否存在与b无关的定点M，使得直线MB与MA关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）依题意，曲线C为抛物线，且点F（-1，0）为抛物线的焦点，x=1为其准线，
则抛物线形式为y2=-2px，由
则曲线C的方程为y2=-4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），假设存在点M（a，2）满足条件，则kAM+kBM=0
即
而x1=-
整理得y1y2（y1+y2）+4a（y1+y2）-2（y12+y22）-16a=0，
即为：y1y2（y1+y2）+4a（y1+y2）-2[（y1+y2）2-2y1y2]-16a=0，③
由
则y1+y2=-4，y1y2=-4b，④
将④代入③得：-4b×（-4）+4a×（-4）-2[（-4）2+8b]-16a=0，即a=-1．
因此，存在点M（-1，2）满足题意．
已知动抛物线的准线为x轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程．
正确答案
设抛物线的顶点坐标为（x，y），则焦点坐标为（x，2y），（3分）
由题意得x2+（2y-2）2=4，（6分）
即顶点的轨迹方程为
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