抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共784题

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抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：填空题

填空题

若椭圆+=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为 ______．

正确答案

椭圆的a=，b=

则c=

抛物线的准线方程为x=-

∵椭圆的左焦点在抛物线y2=2px的准线上

∴-=-，解得p=±4

∵椭圆的左焦点在x轴负半轴

∴-＜0

∴p＞0

∴p=4

故答案为4

题型：填空题

填空题

已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______．

正确答案

由抛物线y2=8x，可得=2，故其准线方程为x=-2．

由题意可得双曲线-=1(a＞0，b＞0)的一个焦点为（-2，0），∴c=2．

又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2-a2=3．

∴双曲线的方程为x2-=1．

故答案为x2-=1．

题型：简答题

简答题

已知动双曲线的右顶点在抛物线y2=x-1上，实轴长为定值4，右准线恰为y轴．

（Ⅰ）求动双曲线中心的轨迹方程；

（Ⅱ）求虚半轴长的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）：设双曲线的中心为（x，y），由于右准线为y轴，故x＜0．

∵实轴长为4，故a=2．

∴双曲线的右顶点为（x+2，y）．

由题意知点（x+2，y）在抛物线y2=x-1上，

∴y2=（x+2）-1=x+1．

∴双曲线中心的轨迹方程为y2=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）

（Ⅱ）：设双曲线方程为-=1(a＞0，b＞0)．

∵a=2，故c=．

由x-x0=，得右准线为x=x0+．

而右准线方程为x=0，

∴x0+=0．

∴x0=-=-．

由（Ⅰ）知=x0+1，

故=-+1≥0．

化简得b2≥12，故b≥2．

∴虚半轴长的取值范围是[2，+∞)．…（14分）

题型：填空题

填空题

已知双曲线c：-=1（a＞．，b＞0）的半焦距为c，过左焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左、右支各有一个交点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的线段长大于be2．（e为双曲线c的离心率），则e的取值范同是______．

正确答案

∵抛物线y2=4cx的准线：x=-c，

它正好经过双曲线C：-=1（a＞b＞0）的左焦点，

∴准线被双曲线C截得的弦长为：2×，

∴2×＞be2，即：c2＜3ab，又c=．

解得：e=＜，

又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，

∴e＞．

则e的取值范同是（，）．

故答案为：（，）．

题型：填空题

填空题

已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线过双曲线-=1的一个顶点，则抛物线的焦点坐标为为______．

正确答案

双曲线方程-=1，

∴a=4，∴双曲线的一个顶点（0，-4）

∴抛物线的准线方程为y=-4

∴p=16，

∴抛物线的焦点坐标为（0，4）．

故答案为：（0，4）．

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