- 抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
- 共784题
已知某抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点F的距离为5．
（Ⅰ）求该抛物线的方程．
（Ⅱ）设C是该抛物线上的一点，一以C为圆心的圆与其准线和y轴都相切，求C点的坐标．
正确答案
（Ⅰ）根据P（m，-3），即P点纵坐标为-3可知抛物线开口向下，设抛物线方程x2=-2py
根据抛物线的定义可知3+
∴p=4；
∴抛物线方程为x2=-8y，
（Ⅱ）∵C为圆心的圆与其准线和y轴都相切
∴C点到准线的距离等于它到y轴的距离
∴在y轴的切点为焦点F（0，-2）
设C（x，-2），代入抛物线方程，可得x2=16
∴x=±4
∴C的坐标为（4，-2）或（-4，-2）
已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N．
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．
正确答案
（本小题满分14分）
（Ⅰ）将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，
所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（
（Ⅱ）证明：设A（
因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率
设直线l方程为y=k（x-2），
与抛物线方程联立得到
ky2-2y-4k=0，
则由韦达定理得：
y1y2=-4，y1+y2=
直线AE的方程为：y-2=
即y=
令x=-2，得yM=
同理可得：yN=
又∵
所以
=4+
=4+
所以OM⊥ON，即∠MON为定值
已知抛物线的准线方程是x=-
（1）求该抛物线的标准方程；
（2）求该抛物线的焦点坐标．
正确答案
（1）由题意可知抛物线的开口向右，且-
∴p=
∴抛物线的标准方程为y2=x…（5分）
（2）由抛物线的性质可知(
已知点P到点F（-3，0）的距离比它到直线x=2的距离大1，则点P满足的方程为______．
正确答案
∵点P到直线x=2的距离比它到点（3，0）的距离少1，
∴点P到直线x=3的距离和它到点（-3，0）的距离相等．
根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点（-3，0）为焦点，以直线x=3为准线的抛物线，
∴p=6，抛物线的标准方程为 y2=-12x，
故答案为 y2=-12x．
抛物线y2=4mx（m＞0）的焦点到双曲线
正确答案
抛物线y2=4mx（m＞0）的焦点为F（m，0），
双曲线
由题意知
∴m=5．
∴抛物线的方程为y2=20x
故答案为：y2=20x．
扫码查看完整答案与解析