热门试卷

（1）椭圆+=1的焦点为（0，3），（0，-3）

所以双曲线的c2=9．

在椭圆上，令y=4，解得，x=±．

所以双曲线过点（±，4）

设双曲线方程-=1

将点（，4）代入，得-=1①

又a2+b2=c2=9②

由①②可以解得a2=4，b2=5．

双曲线方程-=1；

（2）由抛物线y2=8x，得p=4

抛物线右焦点是（2，0），即椭圆的焦点坐标是（2，0），则c=2

又e==，故a=4

即m2=a2=16，n2=b2=a2-c2=16-4=12

∴椭圆的标准方程为+=1．

解（Ⅰ）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义知|AM|=d，

∴cosα==，则sinα===，

∴k=±tanα=±=±=±．

（Ⅱ）存在k，k的取值范围为[-，0)∪(0，]，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB．

事实上，假设存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，

设点Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得ky2-2py+p2k=0．

则，得：-1＜k＜1且k≠0．

y1+y2=，y1y2=p2．

又Q、A、B三点在抛物线上，所以x0=，x1=，x2=

则kQA===．

同理kQB=．

由QA⊥QB得：•=-1，即y02+y0(y1+y2)+y1y2=-4p2．

∴y02++p2=-4p2，即ky02+2py0+5kp2=0．

△=4p2-20k2p2≥0，解得-≤k≤，又-1＜k＜1且k≠0．

所以k的取值范围为[-，0)∪(0，]．

（I）∵等边三角形OAB的边长为8（点O为坐标原点），

且三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上，

∴|OA|=8，BC边和y轴的夹角为30°，

设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12，

∵B（4，12）在x2=2py上，∴(4)2=2p×12，

∴p=2．

∴抛物线方程为x2=4y．

（II）由（I）知A（-4，12），B（4，12），且y=x2，

∴y′=x，

∴kA=×(-4)=-2，

∴直线l1的方程为y-12=-2（x+4），即2x+y+12=0．

kB=×4=2，

∴直线l2的方程为y-12=2（x-4），即2x-y-12=0．

解方程组，得x=0，y=-12．

∴直线l1，l2的交点坐标为（0，-12）．

（1）设抛物线上y2=2x上的点P（m，n）（m≥0），

则|PA|2=(m-

2

3

)2+n2=m2-m++2m=m2+m+=(m+

1

3

)2+，

∵m≥0，

∴当m=0时，|PA|2达到最小值，

∴当点P的坐标为P（0，0）时，|PA|min=；

（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y2=2x，

则点P到直线的距离d====[（y-1）2+5]≥，当且仅当y=1时，取“=”．

此时点P（，1）．

即抛物线上的点P的坐标为P（，1）时，点P到直线x-y+3=0的距离最短，最小值为．