- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知关于x的方程x2+2ax+b=0有两个实根x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]．
（1）求a+b的取值范围；
（2）当a+b最小时，不等式x2+2amx+b≥mx2+m在x＞-3时恒成立，求m的取值范围．
正确答案
∵关于x的方程x2+2ax+b=0有两个实根x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]．
∴
不等式表示的区域，如图所示，
令z=a+b，则直线z=a+b过A（-
∴a+b的取值范围是[-
（2）由（1）知，a=-
∴不等式x2+2amx+b≥mx2+m在x＞-3时恒成立，等价于不等式（m-1）x2+mx+m+2≥0在x＞-3时恒成立．
令g（x）=（m-1）x2+mx+m+2，则
m-1=0，即m=1时，f（x）=x+3≥0在x＞-3上恒成立，符合题意；
m-1≠0，即m≠1时，f（x）的对称轴x=-
∴m≥
∴m≥1．
解析
∵关于x的方程x2+2ax+b=0有两个实根x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]．
∴
不等式表示的区域，如图所示，
令z=a+b，则直线z=a+b过A（-
∴a+b的取值范围是[-
（2）由（1）知，a=-
∴不等式x2+2amx+b≥mx2+m在x＞-3时恒成立，等价于不等式（m-1）x2+mx+m+2≥0在x＞-3时恒成立．
令g（x）=（m-1）x2+mx+m+2，则
m-1=0，即m=1时，f（x）=x+3≥0在x＞-3上恒成立，符合题意；
m-1≠0，即m≠1时，f（x）的对称轴x=-
∴m≥
∴m≥1．
关于x的不等式4mx2-2mx-1＜0恒成立充要条件是m∈（t，0]，则t=______．
正确答案
-4
解析
解：当m=0时，4mx2-2mx-1＜0=-1＜0，不等式成立；
设y=4mx2-2mx-1＜0，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0
得到：
综上得到-4＜m≤0，
不等式4mx2-2mx-1＜0恒成立充要条件是m∈（t，0]，
则t=-4．
故答案为：-4
若对一切x∈[
正确答案
a＞
解析
解：∵不等式ax2-2x+2＞0对一切x∈[
a＞
构造函数 
∴a＞a（x）max设
∵函数 
故a（x）在t=
∴a＞
故答案为：a＞
已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：欲使不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则△=a2-16≤0，
∴-4≤a≤4．
故选A．
若关于x的不等式2x2-3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=______．
正确答案
解析
解：由不等式2x2-3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2-3x+a=0的两根由韦达定理得：
对于任何实数x，不等式kx2-（k-2）x+k＞0都成立，则k的取值范围______．
正确答案
（
解析
解：①当k=0时，不等式kx2-（k-2）x+k＞0变为2x＞0，则x＞0，因此k=0不满足条件；
②当k≠0时，若不等式kx2-（k-2）x+k＞0都成立，
则
综上①②可知：实数k的取值范围是（
故答案为：（
设
正确答案
解析
解：当x＞0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2＜x2，
即（x-2）（x+1）＞0，解得x＞2，x＜-1，所以原不等式的解集为（2，+∞）；
当x≤0时，f（x）=x-2，代入不等式得：x-2＜x2，
解得x∈R，所以原不等式的解集为（-∞，0]，
综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，0]．
故选A
不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}则a=______，b=______．
正确答案
5
-6
解析
解：由题意不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
故3，2是方程x2-ax-b=0的两个根，
∴3+2=a，3×2=-b
∴a=5，b=-6
故答案为：5；-6．
若0＜a＜1，则不等式
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵0＜a＜1，
∴a＜
而
∴
故选C．
已知关于x的不等式（ax-1）（x+1）＜0的解集是
正确答案
-1≤a＜0
解析
解：由题意，实数a不为零，不等式（ax-1）（x+1）＜0可化为：
而不等式的解集为
说明一方面a＜0，另一方面
解之得-1≤a＜0
∴实数a的取值范围是-1≤a＜0
故答案为：-1≤a＜0
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