一元二次不等式及其解法_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（k-1）x2-6x+8＜0的解集是{x|x＜-2或x＞}，则k=______．

正确答案

-4

解析

解：∵（k-1）x2-6x+8＜0的解集是{x|x＜-2或x＞}，

∴方程（k-1）x2-6x+8=0对应的实数根为-2和，

由根与系数的关系，得；

-2+=，

解得k=-4．

故答案为：-4．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=

（1）求函数f（x）的零点；

（2）解不等式f（x）＜-3；

（3）求f（a+1）的值．

正确答案

解：（1）当x≥0时，f（x）=x（x-4），由f（x）=0解得x=0或4；

当x＜0时，f（x）=x（x+4），由f（x）=0解得x=-4．

∴函数f（x）的零点为0，-4，4．

（2）当x≥0时，f（x）＜-3即x（x-4）＜-3，解得1＜x＜3；

当x＜0时，f（x）＜-3即x（x+4）＜-3，解得-3＜x＜-1．

∴不等式f（x）＜-3的解集为（-3，-1）∪（1，3）．

（3）当a+1≥0，即a≥-1时，f（a+1）=（a+1）（a-3）；

当a+1＜0，即a＜-1时，f（a+1）=（a+1）（a+5）．

解析

解：（1）当x≥0时，f（x）=x（x-4），由f（x）=0解得x=0或4；

当x＜0时，f（x）=x（x+4），由f（x）=0解得x=-4．

∴函数f（x）的零点为0，-4，4．

（2）当x≥0时，f（x）＜-3即x（x-4）＜-3，解得1＜x＜3；

当x＜0时，f（x）＜-3即x（x+4）＜-3，解得-3＜x＜-1．

∴不等式f（x）＜-3的解集为（-3，-1）∪（1，3）．

（3）当a+1≥0，即a≥-1时，f（a+1）=（a+1）（a-3）；

当a+1＜0，即a＜-1时，f（a+1）=（a+1）（a+5）．

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题型：单选题

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单选题

不等式4x2+4x+1＞0的解集为（　　）

A∅

B-

C{x|x∈R且x≠-}

DR

正确答案

C

解析

解：由4x2+4x+1＞0，得（2x+1）2＞0，解得x．

所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-}．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式ax2+（1-a）x-1＞0．

正确答案

解：（1）a=0时，原不等式可化为x-1＞0，即x＞1，此时原不等式的解集为{x|x＞1}；

（2）a≠0时，△=（1-a）2+4a=（1+a）2≥0，方程ax2+（1-a）x-1=0可化为（ax+1）（x-1）=0，∴x=1或．

①当a＞0时，∵，∴原不等式可化为＞0，∴其的解集为{x|x＞1或}；

②当-1＜a＜0时，∵，且原不等式可化为＜0，∴其解集为{x|}；

③当a=-1时，∵，且原不等式可化为（x-1）2＜0，其解集为∅；

④当a＜-1时，∵，且原不等式可化为＜0，∴其解集为{x|}．

解析

解：（1）a=0时，原不等式可化为x-1＞0，即x＞1，此时原不等式的解集为{x|x＞1}；

（2）a≠0时，△=（1-a）2+4a=（1+a）2≥0，方程ax2+（1-a）x-1=0可化为（ax+1）（x-1）=0，∴x=1或．

①当a＞0时，∵，∴原不等式可化为＞0，∴其的解集为{x|x＞1或}；

②当-1＜a＜0时，∵，且原不等式可化为＜0，∴其解集为{x|}；

③当a=-1时，∵，且原不等式可化为（x-1）2＜0，其解集为∅；

④当a＜-1时，∵，且原不等式可化为＜0，∴其解集为{x|}．

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题型：填空题

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填空题

不等式（x-2）（x+2）＜0的解集是______．

正确答案

（-2，2）

解析

解：因为不等式（x-2）（x+2）＜0，

所以该不等式对应方程的两个实数根为2和-2，

所以，该不等式的解集为（-2，2）．

故答案为：（-2，2）．

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题型：单选题

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单选题

已知方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，若a＜0，则不等式ax2+bx+c＜0的解为（　　）

AR

Bx1＜x＜x2

Cx＜x1或x＞x2

D无解

正确答案

C

解析

解：∵方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，

∴当a＜0时，不等式ax2+bx+c＜0对应的二次函数是y=ax2+bx+c，

该二次函数的图象是抛物线，且开口向下，

与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2；

∴该不等式的解集为{x|x＜x1或x＞x2}．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式ax2-（2a+1）x+2＜0，（a≥0）．

正确答案

解：当a=0时，不等式化为-x+2＜0，解得x＞2．

当a≠0，△=0时，解得．

不等式化为（ax-1）（x-2）＜0．

当a=时，不等式化为（x-2）2＜0，解得x∈∅．

当0＜a＜时，不等式化为＜0，解得．

当a=时，不等式化为＜0，解得．

综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞2}．

当a=时，不等式的解集为∅．

当0＜a＜时，不等式的解集为{x|}．

当a=时，不等式的解集为{x|}．

解析

解：当a=0时，不等式化为-x+2＜0，解得x＞2．

当a≠0，△=0时，解得．

不等式化为（ax-1）（x-2）＜0．

当a=时，不等式化为（x-2）2＜0，解得x∈∅．

当0＜a＜时，不等式化为＜0，解得．

当a=时，不等式化为＜0，解得．

综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞2}．

当a=时，不等式的解集为∅．

当0＜a＜时，不等式的解集为{x|}．

当a=时，不等式的解集为{x|}．

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式（x-）（x-1）＜0．

正确答案

解：当a=1时，不等式化为（x-1）2＜0，其解集为∅．

当a＞1时，，不等式的解集为{x|}；

当0＜a＜1时，＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜}；

当a＜0时，＜1，不等式的解集为{x|}．

解析

解：当a=1时，不等式化为（x-1）2＜0，其解集为∅．

当a＞1时，，不等式的解集为{x|}；

当0＜a＜1时，＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜}；

当a＜0时，＜1，不等式的解集为{x|}．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2+ax+2，a∈R．

（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1-x2的解集；

（2）若函数g（x）=f（x）+x2+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+2，a∈R；

当不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，

对应方程x2+ax+2=0有两个实数根1和2，

∴-a=1+2，即a=-3；

∴不等式f（x）≥1-x2可化为

x2-3x+2≥1-x2，

即2x2-3x+1≥0，

∴（2x-1）（x-1）≥0，

解得x≤或x≥1；

∴该不等式的解集为{x|x≤或x≥1}；

（2）∵函数g（x）=f（x）+x2+1=x2+ax+2+x2+1=2x2+ax+3，

且g（x）在区间（1，2）上有两个不同的零点，

∴，

即；

解得-5＜a＜-2，

∴实数a的取值范围是-5＜a＜-2．

解析

解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+2，a∈R；

当不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，

对应方程x2+ax+2=0有两个实数根1和2，

∴-a=1+2，即a=-3；

∴不等式f（x）≥1-x2可化为

x2-3x+2≥1-x2，

即2x2-3x+1≥0，

∴（2x-1）（x-1）≥0，

解得x≤或x≥1；

∴该不等式的解集为{x|x≤或x≥1}；

（2）∵函数g（x）=f（x）+x2+1=x2+ax+2+x2+1=2x2+ax+3，

且g（x）在区间（1，2）上有两个不同的零点，

∴，

即；

解得-5＜a＜-2，

∴实数a的取值范围是-5＜a＜-2．

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题型：简答题

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简答题

（1）设a＞b＞0，试比较与的大小．

（2）设不等式x2-4x+3＜0的解集为A，不等式x2+x-6＞0的解集为B．若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．

正确答案

解：（1）a＞b＞0时，

-=＞0，

∴＞；

（2）解不等式x2-4x+3＜0，得A={x|1＜x＜3}，

解不等式x2+x-6＞0，得B={x|x＜-3，或x＞2}；

∴A∩B={x|2＜x＜3}，

∴不等式x2+ax+b＜0的解集为（2，3）；

由根与系数关系得

；

解得a=-5，b=6．

解析

解：（1）a＞b＞0时，

-=＞0，

∴＞；

（2）解不等式x2-4x+3＜0，得A={x|1＜x＜3}，

解不等式x2+x-6＞0，得B={x|x＜-3，或x＞2}；

∴A∩B={x|2＜x＜3}，

∴不等式x2+ax+b＜0的解集为（2，3）；

由根与系数关系得

；

解得a=-5，b=6．

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