热门试卷

（I）解：由得，猜想：

下面用数学归纳法证明猜想：成立．

（ⅰ）当n=1时，，猜想成立；

（ⅱ）假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即；

那么当n=k+1时，，从而n=k+1时猜想成立．

综合（ⅰ），（ⅱ）知：猜想成立．即数列的通项公式为．

（II）证明：当x＞0时，构造函数g（x）=ln（1+x）-x，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调减

∴g（x）＜g（0），∴ln（1+x）＜x；

所以令得，即，

∴，于是，

从而 

∴

（III）证明：由柯西不等式得：

所以要证

即证 ，也就是需证：，

即证：；

因为函数的导函数

当x＞0时，f′（x）＞0，所以当x＞0时，，

取得

∴，所以 ．

∴

（1）解：x≤-2.5时，不等式可化为-x+1-2x-5＜8，解得x＞-4，∴-2.5≥x＞-4；

-2.5＜x＜1时，不等式可化为-x+1+2x+5＜8，解得x＜2，∴-2.5＜x＜1；

x≥1时，不等式可化为x-1+2x+5＜8，解得x＜，∴1≤x＜，

综上，不等式的解集为（-4，）；

（2）证明：根据柯西不等式可得，不等式左边≥，

∵a+b+c=1，

∴≥，

∴．

解：∵x2+y2≥2xy，x2+z2≥2xz，y2+z2≥2yz，

∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz．

∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

∴．

原不等式得证．

（Ⅰ）解：∵f（x）=|x-1|+|x+3|-m，

∴当x＜-3时，由不等式-2x-2-m＜5，得x＞-．…（2分）

当-3≤x≤1时，4-m＜5．…（3分）

当＞1时，由不等式2x+2-m＜5，得x＜．…（4分）

∵不等式f（x）＜5的解集为（-4，2），

∴{x|-＜x＜}={x|-4＜x＜2}，

∴m=1．…（6分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a2++=1，…（7分）

∴（a+b+c）2=（1×a+2×+3×）2≤（12+22+32）（a2++）=14…（9分）

∴a+b+c≤．…（10分）

证明：1-+-+…+-=1++++…++-（1+++…+）

=+++…+，

当n=2时，+=＞，即有1-+-+…+-＞；

由柯西不等式可得，

+++…+＜，

由＜-+-+…+-=-=，

即有＜=．

故1-+-+…+-＜．

则有原不等式成立．

证明：根据柯西不等式（n=3）得，

[（1+a2）+（1+b2）+（1+c2）]•（++）≥（a+b+c）2，

即a2+b2+c2+3≥（a+b+c）2，

整理得，ab+bc+ac≤，

再由基本不等式：ab+bc+ac≥3，

两边立方得，a2b2c2≤≤，

所以，abc≤=，

即abc≤，证毕．

解：由柯西不等式，f（x）=2+=2+•

≤•=

故当且仅当2=•，即x=-时，f（x）取得最大值为．

（Ⅰ）证明：，等号当且仅当a=2时成立

∴；

（Ⅱ）解：由柯西不等式知：

等号当且仅当a=b=c=2时成立．

∴所求的最小值为1．

解：（Ⅰ）由柯西不等式可得，

（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2），

由|x+2y+3z|≥4，

则，

即x2+y2+z2的最小值为；

（Ⅱ）由于对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，

且x2+y2+z2的最小值为，

则|a+2|≤4，

则有-4≤a+2≤4

则-6≤a≤2，

即a的取值范围为[-6，2]．

解：因为a、b、c＞0，

所以（++）2=（•1+•1+•1）2

≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分

于是++≤2，

当且仅当==，即a=b=c=时，取“=”．

所以，++的最大值为2…10分．