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证明：（I）∵|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|＜1+1=2，

∴|x1-x2|＜2 成立．

（II）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，∵|x1-2|＜1，∴-1＜x1-2＜1，即1＜x1＜3，

同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6．∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2-1＜5，

∵0≤|x1-x2|＜2，|x1-x2|≤|x1-x2||x1+x2-1|≤5|x1-x2|，

∴|x1-x2|≤|f（x1）-f（x2）|≤5|x1-x2|．

证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，

则（ab+cd）（ac+bd）=a2bc+b2ad+c2ad+d2bc

=（a2+d2）bc+（b2+c2）ad

≥2adbc+2bcad=4abcd，

当且仅当a=d，b=c取得等号．

则有（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd成立．

解：（1）棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A出发．由3条路径，所以p1=．

棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p2==．

（2）因为移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率为pn．

故落在下底面顶点的概率为1-pn．

于是，移了n+1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn+1=

，从而pn+1-=，

所以数列{}是等比数列，首项为公比为，所以，

用数学归纳法证明：＞．

①当n=1时左式=，右式=，因为，所以不等式成立．

当n=2时，左式=，右式=，所以不等式成立；

②假设n=k（k≥2）不等式成立，即．

则n=k+1时，左式==，

要证，

只要证，

即证：，

只要证，

只要证3k+1≥2k2+6k+2，

因为k≥2，所以=6k2+3=2k2+6k+2+2k（2k-3）+1＞2k2+6k+2

所以，

即n=k+1时不等式也成立，由①②可知＞对任意n∈N*都成立．

证明：由x＞y＞0，可得x-y＞0，

要证-＜，

即证＜+，

即有x＜y+x-y+2，

即为2＞0，显然成立．

则有-＜成立．

证明：（1）-=

==，

同理可得，-=，

由＞，＞，

即+＞+，

即有＜，

即为-＜-；

（2）由a+b=1，（a，b＞0且a≠b），

=（a+b）（+）=2++＞2+2=4，

则＞4．

解：（Ⅰ）观察所给的4个等式，猜想出一个一般性的结论（用字母表示）：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（ a，b，c，d∈R ）

（Ⅱ）证明：要证 （a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，

只要证 a2•c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+b2d2+2abcd，

只要证 a2d2-2abcd+b2c2≥0，

只要证 （ad-bc）2≥0．

而 （ad-bc）2≥0显然成立，故要证的不等式成立．

证明：（1）证法1：∵x、y是不全为零的实数，

∴2x2+y2-（x2+xy）

=x2+y2-xy

=+y2＞0，

∴2x2+y2＞x2+xy．

证法2：当xy＜0时，x2+xy＜2x2+y2；

当xy＞0时，作差：x2+y2-xy≥2xy-xy=xy＞0；

又因为x、y是不全为零的实数，

∴当xy=0时，2x2+y2＞x2+xy．

综上，2x2+y2＞x2+xy．

（2）证明：∵++--3

=++--3

=a2（+）+b2（+）+c2（+）-2（++）

=a2+b2+c2≥0（当且仅当a=b=c时，取得等号），

∴++-≥3．

（1）证明：f（x）=|x-1+a|+|x-a|≥|（x-1+a）-（x-a）|=|2a-1|

∵a≥2，∴|2a-1|≥3，

∴f（x）≥3；

（2）解：f（1）=|a|+|1-a|

a≤0时，f（1）=|a|+|1-a|=1-2a

∵f（1）＜2，∴1-2a＜2，∴a＞-，

∴-＜a≤0；

0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；

a＞1时，f（1）=|a|+|1-a|=2a-1

∵f（1）＜2，∴2a-1＜2，∴a＜，

∴1＜a＜

综上，a的取值范围是（-，）．

证明：要证，

只需证明，

只需证明=（x-1）（y-1），

只需证明1-≤x-1；1-≤y-1，

即证x+≥2，y+≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，

所以x≥1，y≥1，得证．

证明：（1）∵a+b+c=1，

∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1，

∴2（ab+bc+ca）+3≤1

（2）∵a+b+c=1，

∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），

∴a2+b2+c2≥．

证明：由x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（|r|≤1，0≤θ≤2π）．

①|x+y|=|rcosθ+rsinθ|=|r|．

∴|x+y|成立．

②|x2+2xy-y2|=|r2cos2θ+2r2sinθcosθ-r2sin2θ|=r2|cos2θ+sin2θ|=．

证明：由0＜x＜1，可得

-x==＞0，

即有＞x；

x-x2=x（1-x）＞0，即有x＞x2．

则有．

证明：因为x，y，z都是为正数，

所以   ①

同理可得

                    ②

                    ③

当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得：