- 一般数列的项
- 共319题
已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立。设数列{an}的前n项和Sn=f（n），
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足cici+1＜0的正整数的个数称为这个数列{cn}的变号数。另
正确答案
解：（1）∵不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素，
∴
∵在定义域内
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是递减函数，
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立；
综上，得
当n=1时，
当n≥2时，
∴
（2）∵
∴
①－②得：
∴
（3）由题设
∵n≥3时，
∴n≥3时，数列{cn}递增，
∵
即n≥3时，有且只有1个变号数，
又∵
∴此处变号数有2个，
数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3。
在同一个平面内，两两相交且任意三条不共点的n+1条直线的交点个数用数列{an}表示。
（1）请写出a1，a2，a3，a4，a5的值及数列{an}的通项公式；
（2）若
（3）若
正确答案
（1）解：
（2）证明：“略”；
（3）证明：“略”。
已知数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
正确答案
解：（1）由
故所求
（2）当
①-②可得
即
故有
而
已知数列{an}中a1=1，且a2k=a2k-1+（-1）k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1，2，3，……。
（1）求a3，a5；
（2）求{an}的通项公式。
正确答案
解：（1）a2=a1+（-1）1=0，
a3=a2+31=3
a4=a3+（-1）2=4，
a5=a4+32=13，
所以，a3=3，a5=13。
（2）a2k+1=a2k+3k =a2k-1+（-1）k+3k，
所以a2k+1-a2k-1=3k+（-1）k，
同理a2k-1-a2k-3=3k-1+（-1）k-1，
……
a3-a1=3+（-1）
所以（a2k+1-a2k-1）+（a2k-1-a2k-3）+…+（a3-a1）
=（3k+3k-1+…+3）+[（-1）k+（-1）k-1+…+（-1）]，
由此得a2k+1-a1=
于是a2k+1=
a2k=a2k-1+（-1）k=
{an}的通项公式为：
当n为奇数时，an=
当n为偶数时，
已知数列{an}，a1=1，an+1=
(1)求a2，a3，a4；
(2)归纳猜想通项公式an；
(3)用数学归纳法证明你的猜想。
正确答案
解：（1）
（2）归纳猜想
（3）数学归纳法证明“略”。
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