- 一般数列的项
- 共319题
已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an，
（Ⅰ）若bn=n+1，求a4；
（Ⅱ）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=a，b2=b（ab≠0），
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{bn}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次。
正确答案
（Ⅰ）解：
（Ⅱ）（ⅰ）解：因为
所以，对任意的n∈N*有
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6；
又数列{bn}的前6项分别为
设数列{bn}的前n项和为Sn，则
当
当
所以，当n为偶数时，
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n∈N*有
又数列{bn}的前6项分别为
设
所以
所以，数列
因为b＞0时，
所以{
所以数列
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次。
若有穷数列a1，a2，…，an（n是正整数），满足a1=an，a2=an-1，…，an=a1即ai=an-i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项；
（2）已知{cn}是项数为2k-1（k≥1）的对称数列，且ck，ck+1，…，c2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{cn}的前2k-1项和为S2k-1，则当k为何值时，S2k-1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22，…，2m-1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008。
正确答案
解：（1）设{bn}的公差为d，
则
∴数列{bn}为
（2）
∴当k=13时，
（3）所有可能的“对称数列”是：
①
②
③
④
对于①，当m≥2008时，
当1500＜m≤2007时，
对于②，当m≥2008时，
当1500＜m≤2007时，
对于③，当m≥2008时，
当1500＜m≤2007时，
对于④，当m≥2008时，
当1500＜m≤2007时，
已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2-（3k+2k）x+3k+2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…），
（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7及a2n（n≥4）（不必证明）；
（Ⅱ）求数列{an}的前2n项和S2n。
正确答案
解：（Ⅰ）方程
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
当k=4时，
因为当n≥4时，2n＞3n，
所以
（Ⅱ）
对于项数为m的有穷数列{an}，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5。
（1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{an}。
（2）设{bn}是{an}的控制数列，满足ak+bm-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：bk=ak（k=1，2，…，m）。
（3）设m=100，常数
正确答案
解：（1）数列{an}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；
（2）∵bk=max{a1，a2，…，ak}，bk+1=max{a1，a2，…，ak+1}，
∴bk+1≥bk∵ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，
∴ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak，
∴bk=ak。
（3）对k=1，2，…25，
a4k-3=a（4k-3）2+（4k-3），a4k-2=a（4k-2）2+（4k-2），
a4k-1=a（4k-1）2-（4k-1），a4k=a（4k）2-4k，
比较大小，可得a4k-2＞a4k-1，
∵
∴a4k-1-a4k-2=（a-1）（8k-3）＜0，
即a4k-2＞a4k-1； a4k-a4k-2=2（2a-1）（4k-1）＞0，
即a4k＞a4k-2，
又a4k+1＞a4k，
从而b4k-3=a4k-3，b4k-2=a4k-2，b4k-1=a4k-2，b4k=a4k，
∴（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100） =（a2-a3）+（a6-a7）+…+（a98-a99）
= 
=（1-a）
=2525（1-a）。
设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*，p＞0)，数列{bm}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
(Ⅰ)若p=
(Ⅱ)若p=2，q=-1，求数列{bm}的前2m项和的公式；
(Ⅲ)是否存在p和q，使得bm=3m+2(m∈N*)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．
正确答案
解：(Ⅰ)由题意得
所以使得
(Ⅱ)由题意得an=2n-1，
对正整数m，由an≥m得
根据bm的定义可知，当m=2k-1时，bm=k(k∈N*)；
当m=2k时，bm=k+1(k∈N*)，
所以b1+b2+…+b2n=(b1+b3+…+b2m-1)+(b2+b4+… +b2m)
=(1+2+3+…+m)+[2+3+4+…+(m+1)]
=
(Ⅲ)假设存在p，q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得
因为bm=3m+2(m∈N*)，
由bm的定义可知，对于任意的正整数m都有
即-2p-q≤(3p-1)m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得
当3p-1=0，即
所以存在p和q，使得bm=3m+2(m∈N*)；
p和q的取值范围分别是
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