- 一般数列的项
- 共319题
首项为正数的数列{an}满足an+1=
(Ⅰ)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
(Ⅱ)若对一切n∈N*，都有an+1＞an，求a1的取值范围。
正确答案
解：（Ⅰ）已知a1是奇数，假设
则由递推关系得
根据数学归纳法，对任何n∈N+，an都是奇数。
（Ⅱ）由
另一方面，若
若
根据数学归纳法，
综合所述，对一切n∈N+都有
设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0 有一根为Sn-1，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）求{an}的通项公式。
正确答案
解：（I）当n=1时，
于是
当n=2时，有一根为
于是
（II）由题设
即
当n≥2时，
由（I）知
由①可得，
由此猜想
下面用数学归纳法证明这个结论
（i）n=1时已知结论成立；
（ii）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时，由①得
故n=k+1时结论也成立；
综上，由（i）、（ii）可知
于是当n≥2时，
又n=1时，
所以{an}的通项公式为
已知数列{xn}的前n项和为Sn满足
（Ⅰ）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）对于数列{un}若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有
正确答案
解：（Ⅰ）由已知，得
求得
由
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立；
（2）假设当n=k时命题成立，即
易知
=
即
也就是说，当n=k+1时命题也成立；
结合（1）和（2）知，命题成立。
（Ⅱ）数列
当n=1时，
当n≥2时，易知
∴
∴
∴
∴
所以数列
函数数列{fn(x)}满足：
(1)求f2(x)，f3(x)；
(2)猜想fn(x)的表达式，并证明你的结论。
正确答案
解：（1）
（2）猜想：
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，
②假设当n=k（k∈N*）时 ，猜想成立，即
则当n=k+1时，
即对n=k+1时，猜想也成立。
结合①②可知：猜想
在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足
（1）求a1，a2，a3；
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）易求得
（2）猜想
证明：①当n=1时，
②假设n=k时，
则n=k+1时，
=
=
所以，
∴
即n=k+1时，命题成立．
由①②知，n∈N*时，
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