热门试卷

解：（1）

。

（2）设每项均是正整数的有穷数列A为，则为，，，…，，从而

又，

所以

故。

（3）证明：设A是每项均为非负整数的数列

当存在，使得时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，

则

当存在，使得时，

若记数列为C，

则

所以

从而对于任意给定的数列，由

可知

又由（2）可知，

所以

即对于，要么有，要么有

因为是大于2的整数，

所以经过有限步后，必有

即存在正整数K，当时，。

（Ⅰ）解：由，可得，

又，

当n=1时，，由，可得；

当n=2时，，可得；

当n=3时，，可得。

（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，

，    ①

，    ②

， ③

②-③，得， ④

将④代入①，可得，

即，

又，

故，

因此，所以{cn}是等比数列。

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得，

于是，对任意k∈N*且k≥2，有

将以上各式相加，得，

即，

此式当k=1时也成立；

由④式得，

从而，

，

所以，对任意n∈N*，n≥2，

，

对于n=1，不等式显然成立。

解：（Ⅰ）因，

故，

由此有，

故猜想|an|的通项为，

从而；

(Ⅱ)令xn=log2an，则，故只需求x2的值。

设Sn表示xn的前n项和，则，

由得≤Sn=x1+x2+…+xn＜2(n≥2)，

因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，

又由a1=2，得x1=1，故x2≥，

由于a1=2，(n∈N*)，得(n∈N*)，

即，

因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2，公比为的等比数列，

故xn+1+2xn=(x2+2)(n∈N*)，

将上式对n求和得

Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2-)(n≥2)，

因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1，

故(x2+2)(2-)＜5（n≥2），

因此（n≥2），

下证x2≤，

若不然，假设x2＞，

则由上式知，不等式2n-1＜对n≥2恒成立，但这是不可能的，

因此x2≤；

又x2≥，

故x2=，

所以。

解：(1)6，；

(2)①因为，

所以，对任意的n∈N*有，

即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．

数列{bn}的前6项分别为，且这六个数的和为7．

设数列{bn}的前n项和为Sn，

则当n=2k(k∈N*)时，；

当n=2k+1(k∈N*)时，

，

所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，；

②由①知：对任意的n∈N*有，

又数列{bn}的前6项分别为，且这六个数的和为；

设(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，

所以

，

所以，数列均为以为公差的等差数列，

因为b＞0时，；b＜0 时，，

所以是公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，

所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，

即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次．