热门试卷

解：（1）。

（2）依题意，得

由此及

得

即

由（1）可猜想：

下面用数学归纳法予以证明：

①当n=1时，命题显然成立；

②假定当n=k时命题成立，即有

则当n=k+1时，由归纳假设及

得

即

解之得不合题意，舍去）

即当n=k+1时，命题成立

由①、②知命题成立，即。

（3）

令

则

所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，

故当x=1时，f（x）取得最小值3，

即当n=1时，

即

解之得，t>2或t＜-2

故实数t的取值范围为（-∞，-2）∪ （2，+∞）。

解：(1)由题设知，当n≥2时，，

即，

从而2a1=2，

又a2=2，

故当n≥2时，an=a2+2(n-2)=2n-2，

所以a5的值为8．

(2)由题设知，当k∈M={3，4}且n＞k时，，

且，

两式相减得，即，

所以当n≥8时，成等差数列，且也成等差数列．

从而当n≥8时，， (*)

且，

所以当n≥8时，，即，

于是当n≥9时，成等差数列，

从而，

故由(*)式知，

即，

当n≥9时，设，

当2≤n≤8时，n+6≥8，从而由(*)式知，

故，

从而，

于是，

因此，对任意n≥2都成立，

又由可知，

故9d=2S3且16d=2S4，解得，从而，

因此，数列{an}为等差数列．

由a1=1知d=2，

所以数列{an}的通项公式为an=2n-1．

解：（1）据条件得， ①

当n=1时，由，

即有，解得，

因为a1为正整数，故；

当n=2时，由，

解得，所以。

（2）由，猜想：，

下面用数学归纳法证明．

①当n=1，2时，由（1）知均成立；

②假设n=k（k≥2）成立，则，

则n=k+1时，由①得

，

因为k≥2时，，

所以；

k-1≥1，所以，

又，所以，

故，

即n=k+1时，成立。

由①，②知，对任意n∈N*，。

解：（1）当n=1时，有：S1=a1=2a1+（-1）a1=1；

当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+（-1）2a2=0；

当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+（-1）3a3=2；

综上可知a1=1，a2=0，a3=2。

（2）由已知得：

化简得：

可化为：

故数列{}是以为首项， 公比为2的等比数列

故

∴ 数列{}的通项公式为：。

（3）由已知得：

故（m＞4）。