- 一般数列的项
- 共319题
已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2，
(Ⅰ)求a3，a5；
(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn。
正确答案
解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1可得a3=2a2-a1+2=6，
再令m=3，n=1可得a5=2a3-a1+8=20.
(Ⅱ)当n∈N*时，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8，
于是
所以，数列{bn}是公差为8的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6，公差为8的等差数列，
则bn=8n-2，即a2n+1-a2n-1=8n-2，
另由已知(令m=1)可得，
那么，
于是，cn=2nqn-1，
当q=1时，Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1)；
当q≠1时，Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1，
两边同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1)·qn-1+2n·qn，
上述两式相减即得
所以
综上所述，
设数列{an}前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn-n2，n∈N*。
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式。
正确答案
解：（1）在
相减得：
相减得：
得
得：数列
已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9。
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想。
正确答案
解：（1）∵a1=1，4an+1-anan+1+2an=9，
∴4a2-a2+2=9，解得a2=
同理求得a3=
（2）由a1=1，a2=
（3）证明：①当n=1时，a1=1，右端=
②假设当n=k时，等式成立，即ak=
那么，当n=k+1时，
∵4ak+1-ak·ak+1+2ak=9，
∴
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②得对任意n∈N*，等式均成立。
我省的湘绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁是湘绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含的小正方形的个数为an。
（1）求a5；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出an+1与an之间的关系式，并根据你得到的关系式求出an的表达式；
（3）求
正确答案
解：（1）a1=1，a2=1+3+1，a3=1+3+5+3+1，a4=1+3+5+7+5+3+1，
∴a5=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41。
（2）a1=1
a2-a1=4×1，
a3-a2=4×2，
a4-a3=4×3，
…
由此，归纳猜想：
∴
=2n2-2n+1。
（3）
在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）。
（1）试判断数列
（2）设{bn}满足bn=anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）若λan+
正确答案
解：（1）由已知可得
故数列{
（2）
（3）将
∴
原命题等价于该式对n≥2恒成立
设
则Cn+1-Cn=
∵n=2时，Cn的最小值C2为
∴λ的取值范围是（-∞，
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