- 一般数列的项
- 共319题
已知数列{an}满足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2），
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明
正确答案
（Ⅰ）解∵
∴
（Ⅱ）证明：由已知
故
所以
有一则趣题：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口．每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊．问原来牧羊人赶着多少只羊?
正确答案
解：设牧羊人过完第n个关口后剩下an只羊，而原来共x只羊，
则
即
依题意a36=2，即
故原来牧羊人赶着2只羊。
已知数列{an}满足：
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）已知数列{bn}满足：anbn=1﹣an，Sn为数列{bn}的前n项和，证明：S1+S2+…+Sn﹣1=n（Sn﹣1）
正确答案
（Ⅰ）解：∵数列{an}满足：
∴n=1时，2a2=a1a2+1，∴
n=2时，2a3=a2a3+1，∴
n=3时，2a4=a3a4+1，∴
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式
证明：①当n=1，2，3，4时，由（Ⅰ）知结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即
∴
即n=k+1时，结论成立
由①②可知
（Ⅲ）解：由anbn=1﹣an，可得
∴S1+S2+…+Sn﹣1=（n﹣1）+
=n+
=n（1+
=n（Sn﹣1）
已知an=n·0.9n（n∈N*），
（1）判断{an}的单调性；
（2）是否存在最小正整数k，使an＜k对于n∈N* 恒成立？
正确答案
解：（1）an+1-an=（n+1）·
∴当n＜9时，an+1＞an；当n=9时，an+1=an；当n＞9时，an+1＜an，
∴a1，a2，…，a9单调递增，a9=a10，
a10，a11，…单调递减；
（2）由（1）知，an中a9和a10相等且最大，则数列中的最大项为
∴存在最小正整数k=4，使an＜4对n∈N*恒成立。
设
（Ⅰ）求x2，x3，x4的值；
（Ⅱ）归纳{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.
正确答案
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出
当n=1时，
假设当n=k（k∈N*）时，公式成立，即
那么，
所以，当n=k+1时，公式也成立；
综上，
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