热门试卷

解：（1）由已知，=（2n﹣1）an，

分别取n=2，3，4，5， 得

，

，

，

；

所以数列的前5项是：，，，，；  

（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N*）． 

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，猜想显然成立．          

②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即． 

那么由已知，得，

即a1+a2+a3+…+ak=（2k2+3k）a k+1．

所以（2k2﹣k）ak=（2k2+3k）a k+1， 即（2k﹣1）ak=（2k2+3）a k+1，

又由归纳假设，得，

所以，即当n=k+1时，猜想也成立．       

综上①和②知，对一切n∈N*，都有成立．  

解：(1)a1=2，a2=6，a3=12；

(2)依题意An(an，0)，，

则，

在正三角形中，有，

∴，

∴，

∴，①

同理可得，②

②-①并变形得，

，

∴，

∴，

∴数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，公差为2的等差数列，

∴，

∴

，

∴。

(3)，

∴，

∴

，

∵当n∈N*时，上式恒为负值，

∴当n∈N*时，bn+1＜bn，

∴数列{bn}是递减数列，

∴bn的最大值为，

若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，

则不等式在m∈[-1，1]时恒成立，

即不等式t2-2mt＞0在m∈[-1，1]时恒成立，

设f(m)=t2-2mt，则f(1)＞0且f(-1)＞0，

∴，解之，得t＜-2或t＞2，

即t的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞)。

解：（1）

。

（2）设每项均是正整数的有穷数列A为，则为，，，…，，从而

又，

所以

故。

（3）证明：设A是每项均为非负整数的数列

当存在，使得时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，

则

当存在，使得时，

若记数列为C，

则

所以

从而对于任意给定的数列，由

可知

又由（2）可知，

所以

即对于，要么有，要么有

因为是大于2的整数，

所以经过有限步后，必有

即存在正整数K，当时，。

解：（1）∵a2=6且 =n，

∴=1，=2，=3，

解得a1=1，a3=15，a4=28，

（2）由此猜想an=n（2n﹣1）

下面用数学归纳法加以证明：

①当n=1时，a1=1×（2×1﹣1）=1，结论正确；

当n=2时，a2=2×（2×2﹣1）=6，结论正确；

②假设n=k（k≥2）时结论正确，即ak=k（2k﹣1），则当n=k+1时，

∵=k，∴（k﹣1）a k+1=（k+1）ak﹣（k+1）=（k+1）k（2k﹣1）﹣（k+1）=（k+1）（2k2﹣k﹣1）=（k+1）（2k+1）（k﹣1），

∵k﹣1≠0，∴a k+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）﹣1]，

即当n=k+1时，结论正确

由①②可知，数列{an}的通项公式为：an=n（2n﹣1）

（3）∵==[﹣]

∴（++…+ ）=（1﹣）=