热门试卷

解：(1)由已知，得，

又，得；

(2)当n≥2时，，①

，②

由①-②得，

所以，

所以数列皆为等差数列，

所以，；

综上，，所以。

(3)由(2)得

，

又，

所以等式成立．

（1）解：∵a1=1，a2=2，

∴a3=5a2﹣3a1=7，a4=5a3﹣3a2=29

（2）证明：假设an，a n+1，a n+2中存在两项为偶数，若有相邻两项为偶数，

不妨设an，a n+1为偶数，

由已知3a n﹣1=5an﹣a n+1或a n﹣1=an﹣a n+1，

得a n﹣1必为偶数，以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，

若有不相邻两项为偶数，不妨设an，a n+2为偶数，

由已知5a n+1=3an+a n+2或a n+1=an+a n+2得a n+1必为偶数，

以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，

故任意相邻三项不可能有两个偶数

（3）解：由n=1，2显然满足题意，

下证：n≥3时，无满足题意的n，

设使得an是4的倍数的最小下标为m，则

由（1）知m＞4，

由于am是偶数，由（2）知a m﹣1，a m﹣2为奇数，

再由已知条件知a m﹣3为偶数

又a m﹣1=5a m﹣2+a m﹣3或am=a m﹣1+a n﹣2得3a m﹣3=4a m﹣2﹣am，

从而a m﹣3也为4的倍数，与假设矛盾，

综上所述，当n≥3时，无满足题意的n使得 ，

故n=1，2

解：(1)a45=49；

(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3(j-1）；

第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5(j-1)，……，

第i行是首项为4+3(i-1)，公差为2i+1的等差数列，

因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j。

(3)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j，使得N=i(2j+1)+j，

从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(j+1)，

即正整数2N+1可以分解成两个不是的正整数之积。

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，

由于2N+1是奇数，则它必为两个不是的奇数之积，

即存在正整数k，l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)，

从而N=k(2l+1)+k=akl可见N在该等差数阵中；

综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

解：（1）当n=1时，

当n=2时，。

（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=an-1=an=1

∴

当26≤n≤60时

∴第n天的利润率。

（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时bn的最大值为

当26≤n≤60时

（当且仅当，即n=50时，“=”成立）

又∵

∴n=1时，

∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为。