- 一般数列的项
- 共319题
已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2)。
(1)求a2,a3;
(2)证明。
正确答案
解:(1)∵a1=1
∴a2=3+1=4,a3=32+4=13。
(2)证明:由已知an-an-1=3n-1,
故
所以证得。
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单位:m2)的旧住房.
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式;
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取1.15≈l.6)
正确答案
解:(1)第1年末的住房面积,
第2年末的住房面积;
(2)第3年末的住房面积,
第4年末的住房面积,
第5年末的住房面积
,
依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得,
∴每年拆除的旧住房面积b为。
已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k为常数),
(Ⅰ)当k=2时,求a2,a3的值;
(Ⅱ)试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由。
正确答案
解:(Ⅰ)当k=2时,,
令n=1得a2=2S1+1,
又a1=S1=1,得a2=3;
令n=2得a3=2S2+1=2(a1+a2)+1=9,∴a3=9,
∴a2=3,a3=9;
(Ⅱ)由,得
,
两式相减,得,
即,且
,
故,
故当k=-1时,,此时,{an}不是等比数列;
当k≠-1时,,
此时,{an}是首项为1,公比为k+1的等比数列;
综上,当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,{an}是等比数列。
在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,
(Ⅰ)求a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)归纳{an}的通项公式,并用数学归纳法证明。
正确答案
解:(Ⅰ),
因为,
所以,
,
同理;
(Ⅱ)根据计算结果,可以归纳出,
当n=1时,,与已知相符,归纳出的公式成立;
假设当n=k(k∈N*)时,公式成立,即,
由,
可得,
即,
所以,
即当n=k+1时公式也成立;
综上,对于任何n∈N*都成立。
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单位:m2)的旧住房。
(I)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式;
(Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取1.15=1.6)
正确答案
解:(Ⅰ)第一年末的住房面积
第二年末的住房面积;
(Ⅱ)第3末的住房面积
第4年末的住房面积
第5年末的住房面积
依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得
所以每年拆除的旧房面积为。
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