圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（，）;当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A.

②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；

③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；

④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线.

其中的真命题是（写出所有真命题的序号）.

正确答案

知识点

圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在平面直角坐标系中，已知是椭上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点．

24.若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；

25.若直线的斜率存在，并记为，求的值；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即 ①又点在椭圆上，所以 ②

联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

先根据题中条件求出圆心的坐标，后即可得到圆的方程；

易错点

不知题中给出的直线是切线，且互相垂直如何使用导致不能得到关于圆心的方程；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，

即，所以．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

根据直线和圆相切得，，化简得到，后消元即可得到答案。

易错点

不会化简，得到。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点(0，1)在短轴CD上，且＝－1

25．求椭圆E的方程；

26.设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)

又点P的坐标为(0，1)，且＝－1

于是，解得a＝2，b＝

所以椭圆E方程为.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

1.第（1）问直接根据题中给出的条件求解即可；

易错点

1.第（1）问的运算出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

λ＝－1

解析

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1

A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)

联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0

其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0

所以

从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]

＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝

＝－

所以，当λ＝1时，－＝－3

此时，＝－3为定值

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD

此时＝－2－1＝－3

故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

.第（2）问先联立消元导出韦达定理后代人要求的式子得到定值即可。

易错点

第（2）问的运算出错；第（2）问的＝－不会计算如何为定值。

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 如图：A,B,C是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点.

（I）求椭圆的方程；

（II）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE.设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为，证明：.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

1）根据离心率得到a,b的关系，根据点在椭圆上联立求出椭圆方程

2）设点p，根据要求求出直线AP，与直线BC求出点D

3）根据直线CP得到点E

4）使用两点间斜率公式得到DE斜率，化简得到结论

易错点

本题主要有以下几个错误：

1）椭圆方程求错

2）找不到有效突破点，导致运算量加大，无法得出理想结果

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

20.在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

(Ⅰ)求； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

正确答案

1

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点。

（1）若点的纵坐标为2，求；

（2）若，求圆的半径。

正确答案

见解析

解析

本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

（1）抛物线的准线的方程为，

由点的纵坐标为，得点的坐标为

所以点到准线的距离，又。

所以.

（2）设，则圆的方程为，

即.

由，得

设，，则：

由，得

所以，解得，此时

所以圆心的坐标为或

从而，，即圆的半径为

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知的三个顶点在抛物线C：上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，；

（1）若，求点M的坐标；

（2）求面积的最大值。

正确答案

（1）或（2）

解析

（1）解：由题意知焦点，准线方程为

设，由抛物线定义知，得到，所以

或

由，分别得

或

（2）解：设直线的方程为，点

由得

于是

所以中点的坐标为

由，得

所以由得

由得

又因为

点到直线的距离为

所以

记

令，解得

可得在上是增函数，在上时减函数，在上是增函数，

又

所以，当时，取到最大值，此时

所以，面积的最大值为

知识点

向量在几何中的应用直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点。

(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；

(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

正确答案

(1) 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6； (2) －y2＝1(x＜－3，y＜0)

解析

(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|。

由＋y02＝1得y02＝1－，从而

x02y02＝x02(1－)＝。

当，时，Smax＝6，从而时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6。

(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知

直线AA1的方程为

y＝(x＋3)，①

直线A2B的方程为

y＝(x－3)，②

由①②得

y2＝(x2－9)。③

又点A(x0，y0)在椭圆C上，故

y02＝1－。④

将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)。

因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)

知识点

椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知圆C的方程为，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段的垂直平分线交于点.

（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；

（2）过点B（1，）能否作出直线，使与轨迹交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）

如图，由已知可得圆心，半径，点A（1，0）

∵点是线段的垂直平分线与CP的交点，∴

又∵，∴

∴点Q的轨迹是以O为中心，为焦点的椭圆，

∵，∴，

∴点Q的轨迹的方程.

（2）假设直线存在，设，分别代入得

，

两式相减得，即

由题意，得，

∴，即

∴直线的方程为

由得

∵点B在椭圆L内，

∴直线的方程为，它与轨迹L存在两个交点，

解方程得

当时，；当时，

所以，两交点坐标分别为和

知识点

相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知抛物线上有一点到焦点的距离为。

（1）求及的值。

（2）如图，设直线与抛物线交于两点，且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接.试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）焦点, ，………………3分

，代入，得………………5分

（2）联立，得：

，即………………6分

，

=，

，…………………9分

，………………11分

的面积………………13分

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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