圆锥曲线的综合问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为,

24.求直线BF的斜率;

25.设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M,.

（i）求的值;

（ii）若,求椭圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2.

解析

试题分析：先由及得,直线BF的斜率.

设 ,由已知及可得 ,又因为 , ,故直线BF的斜率 .

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，属于中档题．

解题思路

高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

易错点

椭圆几何性质的理解运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（i） ;（ii）

解析

试题分析：（i）先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得（ii）先由得=,由此求出c=1,故椭圆方程为

设点 ,（i）由第24小题可得椭圆方程为直线BF的方程为 ,两方程联立消去y得解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立消去y得 ,解得 .又因为 ,及得

（ii）由（i）得,所以,即 ,又因为,所以=.

又因为, 所以,因此所以椭圆方程为

考查方向

本题考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．

解题思路

高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

易错点

；韦达定理的正确运用及正确化简计算

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．

已知椭圆（a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

正确答案

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

正确答案

(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .

解析

试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

得到直线PM的斜率，直线QM的斜率.证得.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

应用一元二次方程根与系数的关系得到，

，

得到

应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，

由题意知，

所以，

所以椭圆C的方程为.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

所以直线PM的斜率，

直线QM的斜率.

此时，

所以为定值-3.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

由可得，

所以，

同理.

所以，

，

所以

由，可知k>0，

所以，等号当且仅当时取得.

此时，即，符号题意.

所以直线AB 的斜率的最小值为 .

考查方向

椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系；基本不等式.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 12 分

已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

正确答案

（Ⅰ）设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，

又，因此直线的方程为.

将代入得，

解得或，所以.

因此的面积.

（2）将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，

所以在单调递增，又，

因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

18．如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；

（2）若.

①求证：；

②求的最大值.

正确答案

（1）圆的方程为.（2）详见解析

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，题目的难度较大，（1）直接求圆心和半径（2）证明定值问题时，要先表示出来，再通过计算化简得到（3）的最大值涉及到基本不等式，要能正确地使用基本不等式。

（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为.

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而.

②设点，联立，

解得，

同理，，

所以

，当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

考查方向

本题考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题时，常规思路是先把直线与椭圆联立方程组，消元、化简，然后应用根与系数的关系代入化简，从而解决相关问题。

易错点

1、第二问中证明，计算不出来常数。

2、第三问中求时，计算错误，同时使用基本不等式时有一定的难度。

知识点

圆的一般方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

（II）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

正确答案

（1）e＝＝；（2）2。

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）根据已知构造方程组来求解；

（2）先表示出来后利用基本不等式来计算最值。

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：

（1）根据已知构造方程组来求解；

（2）先表示出来后利用基本不等式来计算最值。

易错点

计算容易出错。

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=( )

A3

B6

C9

D12

正确答案

B

知识点

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点P，切点为T，的中点为M，则_____________．

正确答案

解析

连接,由双曲线的定义可知，而,又,所以。

考查方向

双曲线的定义及其计算。

解题思路

本题考查双曲线的定义与圆的切线性质最后利用转化思想来求解。

易错点

要求解的问题不会转化。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意设直线的方程为，分别令与得点，

，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．

考查方向

本题主要考查了椭圆方程与几何性质等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由题意设直线的方程为，分别令与得点，由，得

易错点

对椭圆方程与几何性质理解出现错误、计算错误

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

A

B

C

D

正确答案

D

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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