圆锥曲线的综合问题_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15．已知定点的坐标为，点是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为．

正确答案

9

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义和数形结合思想,属于比较灵活的题，常考的题型有求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

本题主要考查了双曲线的定义和数形结合思想，解题步骤如下：

易错点

本题难在定义的应用和几何关系的寻找。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15．椭圆的左焦点F在x轴上，直线x＝m与椭圆相交于点A，B．若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是___________．

正确答案

；

解析

由题意可以得4a=12，所以a=3，c=2，所以该椭圆的离心率是。

考查方向

椭圆的性质。

解题思路

根据焦点在x轴，所以a>,然后根据经过左焦点时三角形周长最大所以可以算出a的值，进一步可以计算出离心率。

易错点

什么时候取到周长的最大值不清楚。

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

12.在直角坐标平面上，已知点,为线段AD上的动点，若恒成立，则实数的取值范围为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解法一：设，由得，即点M恒在圆的外部（含圆周）上，故当线段AD与圆相切时，取最小值，

∵ ∴由.答案A.

解法二：由可得

恒成立，故，解得

解法三：设由恒成立

可得化简得

，解得。

考查方向

本题主要考查点的轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，正弦定理，向量，一元二次不等式恒成立等知识，意在考查考生的转化与化归能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先将题中给出的条件恒成立正确转化；根据转化的形式不同，后面的解法可以转化为直线与圆相切或恒成立求解。

易错点

对于题中给出的条件恒成立无从下手；

知识点

相关点法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为且点在上．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点，求直线的方程和线段AB的长．

正确答案

（1）；（2）当直线为时，|AB|=；

当直线为时， |AB|=；

解析

（Ⅰ）由题意得：，------------------------------3分

故椭圆的方程为：---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）依题意可知直线存在斜率，设直线

由----------------①------------------5分

直线与椭圆相切②-----6分

由-----------------------③----------------------7分

直线与抛物线相切④-----8分

由②、④消去k得：，解得或，-------------------------9分

由②知，故不合舍去，由得---------------------------10分

直线的方程为

当直线为时，由①易得由③易得，此时|AB|=；

当直线为时，由图形的对称性可得|AB|=．

综上得直线的方程为或，线段|AB|=.----------------12分

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

第（1）问直接根据题中条件列方程组求解即可；第（2）问先设直线l的方程，然后分别将l的方程与圆和椭圆的方程联立消元得到判别式等于0得到关于m和k的方程组求解即可。

易错点

在第（2）问中联立消元时运算求解出错；不会转化题中给出的条件直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

20．已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝7，求k的值．

正确答案

（1）＋＝1；（2）

解析

试题分析：本题属于直线和圆锥曲线的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）根据题目已知条件构造方程组即可求出；

（2）设出直线的方程，与第一问所求的椭圆方程联立起来消元后得到一个一元二次方程，再应用设而不求的方法得到一个方程就可以解出来。解： (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，

代入椭圆方程＋＝1，解得y＝±b，

于是b＝，解得b＝，

又a2－c2＝b2，从而可得a＝，c＝1，

所以椭圆的方程为＋＝1. (2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

因为直线过椭圆内的点，无论k为何值，直线和椭圆总相交．

由根与系数的关系可得: 则x1＋x2＝－，x1x2＝，因为A(－，0)，B(，0)，所以

·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)

＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝6＋，由已知得6＋＝7，解得

考查方向

本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：

（1）根据题目已知条件构造方程组即可求出；

（2）设出直线的方程，与第一问所求的椭圆方程联立起来消元后得到一个一元二次方程，再应用设而不求的方法得到一个方程就可以解出来。

易错点

不会使用设而不求的方法去解答。

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

7．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由渐近线过点得，由双曲线的一个焦点在抛物线的准线上得到，再结合；所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了求双曲线的方程；属于比较灵活的题，常考求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

1、由渐近线所过的点求出的等量关系；2、焦点在抛物线的准线上得到的值，再由等量关系求出的值；

易错点

本题易在等量关系计算上出问题。

知识点

双曲线的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A4

B

C3

D5

正确答案

B

解析

抛物线的焦点为（3，0），所以c=3，而a=2，则，一条渐近线方程为，用点到直线的距离公式可以求得。

考查方向

圆锥曲线的性质。

解题思路

由抛物线的方程求出焦点然后进一步求出双曲线中的未知数b，然后利用点到直线的距离公式即可解出。

易错点

焦点求错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

双曲线的两条渐近线为即，圆的圆心为（-3,0），半径为2，由题意得到：c=3,且，所以双曲线的方程为，故选A。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和数形结合的能力。

解题思路

将双曲线的渐近线、圆的圆心和半径都表示出来；根据题意列式求解即可。

易错点

题中给出的渐近线方程求错；不会转化题中与圆相切的条件导致运算麻烦。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8．如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为、，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，△的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

如右图所示，设另外两个切点分别为M，N，由及圆的切线长相等可得

，所以，由知，故本题选择D选项。

考查方向

本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆的定义、圆的切线等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与圆锥曲线的性质、直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识点交汇命题。

解题思路

根据切线长相等及椭圆的定义先求出实数a，进而求出椭圆的离心率。

易错点

不知如何利用已知信息导致本题没有思路。

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 6 分

10．双曲线的实轴长等于，其渐近线与圆相切，则 .

正确答案

6，

解析

试题分析：依题意可知双曲线的标准方程为，故实轴长为6，渐近线方程为，圆的标准方程为，由渐近线与圆相切可得，可解得，故此题答案为6，。

考查方向

本题主要考双曲线的定义、几何性质等知识点．

解题思路

化双曲线方程为标准方程，直接求出实轴长及渐近线方程，利用直线与圆相切即可求出实数m的值。

易错点

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

热门试卷

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点