圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5. 是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由抛物线方程可知,准线方程为x=- ,过A、B分别向准线作垂线段，设垂足为、，再设A,B两点到y轴的距离为, ,根据抛物线的定义可知，|AF|+|BF|==+=8,,设AB的中点到y轴的距离为d，则d==，所以选项为C.

考查方向

抛物线的定义及其重要性质

解题思路

首先求抛物线的准线方程，再由抛物线的定义，过A,B向准线作垂线段, 再设A,B两点到y轴的距离为, , |AF|+|BF|=+=8,, 再根据梯形中位线的性质, 求出AB的中点到y轴的距离为.

易错点

抛物线的性质, 数学结合的应用.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点,且当线段的中点在轴上时，.

24.求该椭圆的离心率；

25.设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.e=

解析

当线段A的中点在y轴上时，AC垂直于轴，为直角三角形.

因为cos∠,所以||=3||,易知||=,由椭圆的定义||+||=2a

，所以e=

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

先证出为直角三角形，求出，再由定义得到a,b方程, 从中解出离心率

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

+是定值6

解析

由24得椭圆方程为,焦点坐标为，当AB、AC的斜率都存在时,设,A()、B()、C()

则直线AC的方程为y=, 代入椭圆方程得,=0

又，同理，，+=6

(2) 若AB⊥x轴，则=1，，这时也有.+=6.

综上所述,+是定值6

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

由24得到含有b的椭圆方程，根据题意对直线AB、AC的斜率进行分为讨论，设出坐标，联立方程组，利用根与系数关系，结合向量关系式，将向量关系转化为坐标关系，用A的坐标及b,表求，，验证是否为定值。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，轴，，则双曲线的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

如图，易知A(),因为BF//OA,AB⊥OB,所以,所以AB=0F=，A到直线bx+ay=0的距离为=,所以c=2b,所以e=.

考查方向

双曲线的性质及双曲线的离心率

解题思路

画出简图，得出A(),再根据条件，得，利用A到直线bx+ay=0的距离为=，得到b,c关系，进而求出离心率。

易错点

不能利用双曲线的性质找到a，b，c系的关系

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.已知双曲线过抛物线的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 .

正确答案

解析

抛物线的焦点抛物线的焦点为（2,0），代入双曲线方程，

所以，，所以，，渐近线方程为：

故此题答案为。

考查方向

本题主要考查双曲线和抛物线的定义及几何性质，也在题目中考查了双曲线渐近线的应用，意在考查考生的运算求解能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常独立命题，或是与三角函数等知识点交汇命题，较易。

解题思路

先根据题意抛物线的焦点坐标为（2,0）从而得出。再由双曲线渐近线方程得到，即可得到双曲线的渐近线方程。

易错点

本题较简单，只要抛物线的定义及双曲线渐近线方程等知识熟知就不会出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，轴，，则双曲线的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

如图，易知A(),因为BF//OA,AB⊥OB,所以,所以AB=0F=，A到直线bx+ay=0的距离为=,所以c=2b,所以e=.

考查方向

双曲线的性质及双曲线的离心率

解题思路

画出简图，得出A(),再根据条件，得，利用A到直线bx+ay=0的距离为=，得到b,c关系，进而求出离心率。

易错点

不能利用双曲线的性质找到a，b，c系的关系

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，轴，，则双曲线的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

如图，易知A(),因为BF//OA,AB⊥OB,所以,所以AB=0F=，A到直线bx+ay=0的距离为=,所以c=2b,所以e=.

考查方向

双曲线的性质及双曲线的离心率

解题思路

画出简图，得出A(),再根据条件，得，利用A到直线bx+ay=0的距离为=，得到b,c关系，进而求出离心率。

易错点

不能利用双曲线的性质找到a，b，c系的关系

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5. 是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由抛物线方程可知,准线方程为x=- ,过A、B分别向准线作垂线段，设垂足为、，再设A,B两点到y轴的距离为, ,根据抛物线的定义可知，|AF|+|BF|==+=8,,设AB的中点到y轴的距离为d，则d==，所以选项为C.

考查方向

抛物线的定义及其重要性质

解题思路

首先求抛物线的准线方程，再由抛物线的定义，过A,B向准线作垂线段, 再设A,B两点到y轴的距离为, , |AF|+|BF|=+=8,, 再根据梯形中位线的性质, 求出AB的中点到y轴的距离为.

易错点

抛物线的性质, 数学结合的应用.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点,且当线段的中点在轴上时，.

24.求该椭圆的离心率；

25.设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.e=

解析

当线段A的中点在y轴上时，AC垂直于轴，为直角三角形.

因为cos∠,所以||=3||,易知||=,由椭圆的定义||+||=2a

，所以e=

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

先证出为直角三角形，求出，再由定义得到a,b方程, 从中解出离心率

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

+是定值6

解析

由24得椭圆方程为,焦点坐标为，当AB、AC的斜率都存在时,设,A()、B()、C()

则直线AC的方程为y=, 代入椭圆方程得,=0

又，同理，，+=6

(2) 若AB⊥x轴，则=1，，这时也有.+=6.

综上所述,+是定值6

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

由24得到含有b的椭圆方程，根据题意对直线AB、AC的斜率进行分为讨论，设出坐标，联立方程组，利用根与系数关系，结合向量关系式，将向量关系转化为坐标关系，用A的坐标及b,表求，，验证是否为定值。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

8. 若圆与曲线的没有公共点，则半径的取值范围是

A

B

C

D[

正确答案

C

解析

只需求圆心（0，1）到曲线上的点的最短距离，取曲线上的点，，

距离

所以，若圆与曲线无公共点，则0＜ r＜．

故选C。

考查方向

本题主要考查了圆与函数的综合应用，分式函数最值求法的应用等相关知识，意在考考生逻辑思维能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数等知识点交汇命题，较难。

解题思路

先根据题意取曲线上的点，。求圆心（0，1）到曲线上的点的距离，化简求出最值，即可得到结论。

易错点

本题易在理解题意上出现错误。本题易在用变量得到距离后求最值时极易出错。

知识点

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．在平面直角坐标系中，双曲线过点，且其两条渐近线的方程分别为和，则双曲线的标准方程为

A

B

C 或

D

正确答案

B

解析

已知双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为；

把点代入上面方程，得，所以双曲线方程为，化为标准方程即可得。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了已知渐近线方程怎样求双曲线的标准方程问题。

解题思路

已知双曲线的渐近线方程，设双曲线的方程为；

把所给点代入上面方程，即得的值，确定双曲线方程。

易错点

双曲线的焦点位置不好确定，不会设双曲线方程的形式。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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