圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.如图，在一点为圆心，为直径的半圆中，为半圆弧的中点，为半圆弧上的一点，且，，双曲线以为焦点且经过点.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线方程；

（2）设过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线的斜率的取值范围。

正确答案

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆的左、右顶点分别为曲线是以椭圆中心为顶点，为焦点的抛物线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于不同的两点且，求实数的取值范围。

正确答案

解析

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知识点

平面向量数量积的运算椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．设椭圆焦点坐标为F1（-c,0）, F2（c,0）,点Q是椭圆短轴上的顶点，且满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是圆与与y轴的交点，是椭圆上的任一点，求的最大值。

正确答案

（1），

故a2=8+8=16,故椭圆方程为：．

（2）令x=0,得y=3或y=1．故A（0，3）,B（0，1）．

设P（x,y）,则=（-x,3-y）·(-x,1-y)=x2+(3-y)(1-y)= x2+y2-4y+3．

又，故x2=16-2 y2．

所以=16-2 y2+y2-4y+3=-2（y+1）2+21

又，故y=-1时，取最大值21．

解析

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知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（　　　　　　）=sinC．

正确答案

解析

试题分析：设三角形△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则因为△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上，所以m>0>n时，曲线是双曲线，离心率，由双曲线的定义，所以，由正弦定理，得，故答案为。

考查方向

本题主要考类比推理及正弦定理的综合应用．

解题思路

由类比推理的概念及正弦定理即可解决本题。

易错点

对题意不理解导致本题没有思路。

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，以椭圆的长轴的两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为6.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、又点，求面积最大时对应的直线的方程.

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）

设1

由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：，

即即，，，

（Ⅱ）

设与联立得：

得：

，

到的距离

当=9即时，最大，对应的直线的方程为

考查方向

圆锥曲线方程、直线方程

解题思路

根据已知条件，建立各种方程关系，代入整理求解。

易错点

计算错误

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 的外接圆的圆心为，半径为，，且，则向量在向量方向上的投影为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）

A

B

C

D（1，2）

正确答案

C

解析

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知识点

双曲线的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题可知，1<b/a<3, 则e2=1+b2/a2∈(2,10),则e∈。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查直线与双曲线的位置关系

解题思路

（1）表示直线方程；（2）利用双曲线的几何性质表示离心率e，即可得到结果。

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在表示直线方程时发生错误。

知识点

双曲线的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：，其右焦点，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

试题解析：（Ⅰ）由题可知，又，故

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）联立方程消去整理得：

则，解得，

设，则，

即的中点为

又的中点不在圆内，所以，解得或

综上可知，或

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

（1）利用e及对称性求a,b。

（2）联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

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正确答案

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易错点

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