热门试卷

（1）解：∵点在抛物线上，   ∴.

解法1：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设点的坐标分别为，依题意，，

由消去得，

解得.

∴.

直线的斜率，

故直线的方程为.

令，得，∴点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

∴

.

∵，     ∴.

由，得，

解得, 或,

∴直线的方程为，或.

（3）设线段的中点坐标为，

则

.

而，

∴以线段为直径的圆的方程为.

展开得.

令，得，解得或.

∴以线段为直径的圆恒过两个定点.

解法2：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设直线的方程为，点的坐标为，

由解得

∴点的坐标为.

由消去，得，

即，解得或.

∴，.

∴点的坐标为.

同理，设直线的方程为，

则点的坐标为，点的坐标为.

∵点在直线上，

∴.

∴.

又，得，

化简得.

，

∵，

∴.

∴.

由，

得，

解得.

∴直线的方程为，或.

（3）设点是以线段为直径的圆上任意一点，

则，

得，

整理得，.

令，得，解得或.

∴ 以线段为直径的圆恒过两个定点.

(1) 解法1：设椭圆的方程为,

依题意: 解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，

∵，  ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.

∴,

化简得：.  ①

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.     ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 .   ③

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得 ，

则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为

.

若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ 。

∵点在切线上,   ∴.        ①

同理， .  ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程 .

∵经过两点的直线是唯一的，

∴直线的方程为，

∵点在直线上，      ∴.

∴点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则.

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得

∴.

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根.  ∴满足条件的点有两个.

（1）因为椭圆过点和点，

所以，由，得。

所以椭圆的方程为，……………5分

（2）假设存在实数满足题设，

由 得。

因为直线与椭圆有两个交点，所以，即 。      ①

设MN的中点为，分别为点的横坐标，

则，从而，

所以。

因为，所以。

则，而，所以。

即，此与 ① 矛盾。

因此，不存在这样的实数，使得，…………………13分

（1）直线L:=1,∴=.①      ，，，，，，，，，，，，，，，，，，2分

e=.②   ，，，，，，，，，，，，，，，，，，4分

由①得，3

由②3得     ∴所求椭圆的方程是+y2=1. ，，，，，，，，，，，，，，，，，，6分

（2）联立得：.

Δ  ，，，，，，，，，，，，8分

设，则有

，，，，，，，，，，，，，，，，，，10分

∵，且以CD为圆心的圆点过点E，

∴EC⊥ED.                                       ，，，，，，，，，，，，，，，，，，12分

则

∴，解得=＞1,

∴当=时以CD为直径的圆过定点E.                ，，，，，，，，，，，，，，，，，。14分

（1）

如图，由已知可得圆心，半径，点A（1，0）

∵点是线段的垂直平分线与CP的交点，∴

又∵，∴

∴点Q的轨迹是以O为中心，为焦点的椭圆，

∵，∴，

∴点Q的轨迹的方程.

（2）假设直线存在，设，分别代入得

，

两式相减得，即

由题意，得，

∴，即

∴直线的方程为

由得

∵点B在椭圆L内，

∴直线的方程为，它与轨迹L存在两个交点，

解方程得

当时，；当时，

所以，两交点坐标分别为和

（1）因为，轨迹是以、为焦点的椭圆，                    

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称