抛物线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本题满分15分）

(1).已知抛物线的焦点是,求它的标准方程 ;

(2).已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且经过点，求椭圆的标准方程;

(3).已知双曲线两个焦点分别为,,双曲线上一点到,的距离差的绝对值等于8, 求双曲线的方程.

正确答案

(1) (课本页,例题1(2)改编)

(2) (课本页,习题5(2)改编) 或

(3) (课本页,例题1改编)

第一问中，利用抛物线的焦点，可知道在x轴上，且开口向左，则设方程得到p,从而得到抛物线的方程。

第二问中，利用椭圆的长轴长是短轴长的3倍，得到a=3b,然后利用且经过点，设出标准方程，联立方程组得到结论求解得到。

第三问中，利用双曲线两个焦点分别为,,得到c的值，然后双曲线上一点到,的距离差的绝对值等于8,得到a，利用焦点的位置为y轴可知得到其方程。

解：(1) (课本页,例题1(2)改编)

(2) (课本页,习题5(2)改编) 或

(3) (课本页,例题1改编)

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题型：简答题

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简答题

如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

正确答案

（1）证明见解析（2）抛物线方程为或⑶仅存在一点M(0，-2p)适合题意

（Ⅰ）证明：由题意设

由得，则所以

因此直线MA的方程为　　　

直线MB的方程为…………………2分

所以① ②

由①、②得　因此　，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. …………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：

　　所以　x1、x2是方程的两根，

因此又

所以 …………………6分

由弦长公式得

又，所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为或…………………8分

（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),

则CD的中点坐标为

设直线AB的方程为

由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

代入得

若D（x3,y3）在抛物线上，则

因此　x3=0或x3=2x0.

即D(0，0)或 …………………10分

（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意. ………………11分

（2）当，对于D(0，0)，此时

又AB⊥CD，所以………………12分

即矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意. ………………………………14分

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题型：填空题

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填空题

对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于两点，则数列的前项和公式是××××× .

正确答案

分析：设An（xn1，yn1），B（xn2，yn2），直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y2-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，求出 ? 的表达式，然后利用韦达定理代入得? =-4n2-4n，故可得 =-2n，据此可得数列的前n项和．

解：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y2-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，

设An（xn1，yn1），B（xn2，yn2），

则? =xn1xn2+yn1yn2=(t2+1)yn1yn2+2nt(yn1+yn2)+4n2，

用韦达定理代入得? =-4n(2n+1)(t2+1)+4n(2n+1)t2+4n2=-4n2-4n，

故=-2n，

故数列的前n项和-n（n+1），

故答案为-n（n+1）．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线，点是其准线与轴的焦点，过的直线与抛物线交于、两点，为抛物线的焦点．当线段的中点在直线上时，求直线的方程，并求出此时的面积．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数a、b、c的值．

正确答案

∵曲线过点，

∴①

，∴

∴②

又曲线过点，∴③．

联立解①、②、③得

解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来．题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的途径．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若PF＝2，则点P到抛物线顶点O的距离是．

正确答案

试题分析：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，即

因此

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题型：填空题

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填空题

设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点PA⊥l，A为垂足，如果AF的斜率为－，那么|PF|＝________.

正确答案

8

抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，因为PA⊥准线l，设P(m，n)，则A(－2，n)，因为AF的斜率为－，所以＝，得n＝－4 ，点P在抛物线上，所以8m＝(－4 )2＝48，m＝6.因此P(6，－4 )，|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8.

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，以下命题：

①若直线的倾斜角为，则；

②；

③过分别作准线的垂线，垂足分别为,，则；

④连接,并延长分别交抛物线的准线于，两点，则以为直径的圆过焦点

其中真命题的序号为．

正确答案

③④

依题意可得，。当直线的倾斜角为时，直线的方程为。联立可得。设坐标分别为，所以，所以，命题①不正确；

当直线斜率不存在时，可得坐标为，此时；当直线斜率存在时，设其方程为，联立可得，所以。因为，所以，命题②不正确；

依题意可得，，而，所以，即，故，即，命题③正确；

依题意可得，则，所以。当直线斜率不存在时，；当直线斜率存在时，。综上可得，，所以，则以为直径的圆经过焦点，命题④正确。

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题型：简答题

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简答题

抛物线（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.

（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），比较x0与3p大小；

（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，求++…+的值.

正确答案

解：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.

得k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.Δ=4（k2p－2p）2－4k2·k2p2>0，得02<1.

令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，

AB中点坐标为（，）.AB垂直平分线为y－=－（x－）.

令y=0，得x0==p+.由上可知02<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.

（2）解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，….

∴点Nn的坐标为（p+，0）.

|NnNn+1|=|（p+）－（p+）|=，=，

所求的值为［p3+p4+…+p21］=，因为02<1，所以0

略

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题型：填空题

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填空题

点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是（）

正确答案

D

略

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