- 空间几何体的表面积与体积
- 共4499题
A
B5
C6
D
正确答案
解析
法一：如下图所示，连接BE、CE
则四棱锥E-ABCD的体积VE-ABCD=
又∵整个几何体大于四棱锥E-ABCD的体积，
∴所求几何体的体积V求＞VE-ABCD，
法二：分别取AB、CD的中点G、H连EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，
可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积
故选D．
（1）求证：AC⊥平面BDE．
（2）求三棱锥D-ABC的体积．
正确答案
∴△ABC为等边三角形．
又∵E为AC的中点，∴BE⊥AC，
又∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD，DA=DC，
∴DE⊥AC．
∴AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△AEB、△AED都是直角三角形，
在△AEB中，BE=
在△ABD中，DA2=AB2+BD2-2AB×BDcos60°=7
在△AED中，DE2=DA2-AE2=6，DE=
∴DE2+BE2=9=BD2
∴∠DEB=90°，DE⊥BE
又∵DE⊥AC，∴又S△ABC=
∴VD-ABC=
解析
∴△ABC为等边三角形．
又∵E为AC的中点，∴BE⊥AC，
又∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD，DA=DC，
∴DE⊥AC．
∴AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△AEB、△AED都是直角三角形，
在△AEB中，BE=
在△ABD中，DA2=AB2+BD2-2AB×BDcos60°=7
在△AED中，DE2=DA2-AE2=6，DE=
∴DE2+BE2=9=BD2
∴∠DEB=90°，DE⊥BE
又∵DE⊥AC，∴又S△ABC=
∴VD-ABC=
已知正四棱锥V-ABCD的个棱长均为1，E、F分别是VB、VC的中点．
（1）判断直线AE是否与平面BDF平行，并说明理由；
（2）求证：平面VCD⊥平面BDF；
（3）求棱锥V-AEFD的体积．
正确答案
（1）解：如图所示，
∵E、F分别是VB、VC的中点，
∴EF
∵
∴
∴四边形AEFD是梯形，
∴AE与DF相交于平面BDF内的某一点．
因此直线AE与平面BDF不平行．
（2）连接AC与BD相交于点O，连接VO．
则VO⊥平面ABCD，
∴VO⊥BD，
又BD⊥AC，VO∩AC=O．
∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥VC．
∵△VBC是等边三角形，F是VC的中点，
∴BF⊥VC．
又BD∩BF=B，
∴VC⊥平面DBF，
∵VC⊂平面VCD，
∴平面VCD⊥平面BDF．
（3）解：如图所示，VO=
∴VV-ABCD=
连接DE，则
∴
同理可得VA-DVE=VA-DEF=
∴VV-AEFD=
解析
（1）解：如图所示，
∵E、F分别是VB、VC的中点，
∴EF
∵
∴
∴四边形AEFD是梯形，
∴AE与DF相交于平面BDF内的某一点．
因此直线AE与平面BDF不平行．
（2）连接AC与BD相交于点O，连接VO．
则VO⊥平面ABCD，
∴VO⊥BD，
又BD⊥AC，VO∩AC=O．
∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥VC．
∵△VBC是等边三角形，F是VC的中点，
∴BF⊥VC．
又BD∩BF=B，
∴VC⊥平面DBF，
∵VC⊂平面VCD，
∴平面VCD⊥平面BDF．
（3）解：如图所示，VO=
∴VV-ABCD=
连接DE，则
∴
同理可得VA-DVE=VA-DEF=
∴VV-AEFD=
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N、P、Q分别在棱A1D1、A1B1、B1C1、BC上移动，则四面体MNPQ的最大体积是______．
正确答案
解析
其中：h是Q点到底面的距离，是定值，h=a，
于是，要使得V最大，等价于使得底面△MNP的面积S最大．
设A1M=x，A1N=y，B1P=z，（0≤x，y，z≤a）则：
S=S正方形-
=a2-
=a2-
=
≤
≤
=
即：S的最大值=
故：四面体MNPQ的体积V的最大值=
故答案为：
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=8，则该四棱锥的体积是（ ）
正确答案
解析
解：∵PA⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=
=
即四棱锥P-ABCD的体积为96．
故选B．
A
B
C2
D
正确答案
解析
所求的几何体是由如图所示的边长为2的正方体中，从三棱锥A-BCD中去掉三棱锥F-BCD后剩余的几何体（注意F是AD的中点），
∴所求的体积为VA-BCD-VF-BCD
=
=
故选：D．
将棱长为3的正四面体以各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为______．
正确答案
解析
解：将棱长为3的正四面体以各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），
每个面去掉3个边长为1 的正三角形，增加4个边长为1的正三角形，
所以所求几何体的表面积为：
故答案为：
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，
可知：侧棱长为
所以此三棱锥的体积为
故选C．
（1）求证AD⊥PB；
（2）Q为边BC上的任意一点，若PQ与面PBD所成的最大角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
正确答案
（1）证明：如图，
又∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥AD，
∵PO∩BD=O，∴AD⊥面PBD，
又PB⊂面PBD，∴AD⊥PB；
（2）解：∵BC∥AD，AD⊥面PBD，∴CB⊥面PBD，
∴PQ与面PBD所成的角即∠QPB，最大时为∠CPB．
由已知，∠CPB=45°，AB=4，BC=2，OB=
在△PBC中，∠CBP=90°，PB=BC=2，
在△PBO中，∠POB=90°，PO=1，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=
解析
（1）证明：如图，
又∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥AD，
∵PO∩BD=O，∴AD⊥面PBD，
又PB⊂面PBD，∴AD⊥PB；
（2）解：∵BC∥AD，AD⊥面PBD，∴CB⊥面PBD，
∴PQ与面PBD所成的角即∠QPB，最大时为∠CPB．
由已知，∠CPB=45°，AB=4，BC=2，OB=
在△PBC中，∠CBP=90°，PB=BC=2，
在△PBO中，∠POB=90°，PO=1，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=
（1）求证：EF⊥A1C1；
（2）在棱C1C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，并求此时C1G的长；
（3）求几何体ABFED的体积．
正确答案
（1）证明：连结B1D1，BD，∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1．
∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴A1C1⊥DD1．
∵B1D1∩DD1=D1，B1D1，DD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D．
∵EF⊂平面BB1D1D，∴EF⊥A1C1．
（2）解：以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，
∴
设G（0，a，h），
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ADD1A1∩平面AEGF=AE，
平面BCC1B1∩平面AEGF=FG，
∴存在实数λ，使得
∵
∴λ=1，h=
∴C1G=
∴当C1G=
（3）解：几何体ABFED的体积为
解析
（1）证明：连结B1D1，BD，∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1．
∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴A1C1⊥DD1．
∵B1D1∩DD1=D1，B1D1，DD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D．
∵EF⊂平面BB1D1D，∴EF⊥A1C1．
（2）解：以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，
∴
设G（0，a，h），
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ADD1A1∩平面AEGF=AE，
平面BCC1B1∩平面AEGF=FG，
∴存在实数λ，使得
∵
∴λ=1，h=
∴C1G=
∴当C1G=
（3）解：几何体ABFED的体积为
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