空间几何体的表面积与体积_章节学习

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题型：填空题

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填空题

三棱台ABC-A′B′C′的两底面是等边三角形且边长之比是2：1，连接A′C，B′C，A′B把棱台分为三个棱锥，则有

VC′-A′B′C：VB′-A′BC：VA′-ABC=______．

正确答案

1：2：4

解析

解：画出图形，如图所示，

由题意，设棱台的高为h，△A′B′C′的面积为S；

∴=S△ABCh=Sh；

=S△A‘B'C'h=Sh；

=V总--

=（4S++S）h-Sh-Sh=Sh；

∴VC′-A′B′C：VB′-A′BC：VA′-ABC=Sh：Sh：Sh=1：2：4．

故答案为：1：2：4．

1

题型：填空题

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填空题

若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则=______．

正确答案

解析

解：设正四面体ABCD的棱长为a，可得

∵等边三角形ABC的高等于a，底面中心将高分为2：1的两段

∴底面中心到顶点的距离为×a=a

可得正四面体ABCD的高为h==a

∴正四面体ABCD的体积V=×S△ABC×a=a3，

设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4××S△ABC×r=a3，解得r=a

∴内切球表面积S2=4πr2=

∵正四面体ABCD的表面积为S1=4×S△ABC=a2，

∴==

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

在三棱锥A-BCD中，平面ACB⊥平面BCD．在等腰直角三角形ABC中，AC=AB，AC=6，在Rt△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=30°

（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；

（2）求三棱锥C-ABD的体积．

正确答案

（1）证明：∵平面ACB⊥平面BCD，平面ACB⊥平面BCD=BC，BD⊥BC，

∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AC，

又∵AB⊥AC，AB∩BD=B，

∴AC⊥平面ABD，

又AC⊂平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD；

（2）解：∵在等腰直角三角形ABC中，AC=AB，AC=6，

∴S△ABC=×6×6=18，

∵在Rt△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=30°，BC=6

∴BD=2，

∴VC-ABD=×18×2=12．

解析

（1）证明：∵平面ACB⊥平面BCD，平面ACB⊥平面BCD=BC，BD⊥BC，

∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AC，

又∵AB⊥AC，AB∩BD=B，

∴AC⊥平面ABD，

又AC⊂平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD；

（2）解：∵在等腰直角三角形ABC中，AC=AB，AC=6，

∴S△ABC=×6×6=18，

∵在Rt△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=30°，BC=6

∴BD=2，

∴VC-ABD=×18×2=12．

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题型：单选题

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单选题

（2015春•台州校级月考）正方形ABCD的边长为1，E，F分别为BC，CD的中点，将其沿AE，EF，AF折成四面体，则四面体的体积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为直角△EFC，AC⊥平面EFC，高为1，

所以三棱柱的体积：××××1=，

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E为PC的中点．

（1）求证：BE∥平面PAD；

（2）求求三棱锥C-BDE的体积．

正确答案

（1）证明：令PD中点为F，连接EF，

∵点E，F分别是△PCD的中点，

∴EF平行且等于CD，∴EF平行且等于AB．

∴四边形FABE为平行四边形．

∴BE∥AF，AF⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴BE∥面PAD；

（2）解：由题意，三棱锥C-BDE的高为PD=，

∴三棱锥C-BDE的体积为=．

解析

（1）证明：令PD中点为F，连接EF，

∵点E，F分别是△PCD的中点，

∴EF平行且等于CD，∴EF平行且等于AB．

∴四边形FABE为平行四边形．

∴BE∥AF，AF⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴BE∥面PAD；

（2）解：由题意，三棱锥C-BDE的高为PD=，

∴三棱锥C-BDE的体积为=．

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题型：简答题

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简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=，P是A1C1上一点．

（1）若P是棱A1C1的中点，求证：A1B∥平面B1PC；

（2）若二面角B1-CP-A的大小为60°，求三棱锥B1-PCC1的体积．

正确答案

（1）证明：连接BC1，交B1C于M，连接MP，

∵P是棱A1C1的中点，∴MP∥A1B，

∵A1B⊄平面B1PC，MP⊂平面B1PC，

∴A1B∥平面B1PC；

（2）解：∵A1B1⊥A1C1，A1B1⊥AA1，且AA1∩A1C=A1，

∴B1A1⊥平面ACC1A1，取A1C的中点O，连接MO，

则MO⊥平面ACC1A1，

过O作ON⊥PC，垂足是N，连接MN，则∠MNO为二面角

B1-CP-A的平面角，等于60°，

在Rt△MON中，∵OM==，

∴ON=，

∵AC=1，，∴，则OC=，

，

∴，

设PC1=x，PC2=x2+2，A1P=1-x，

∴，

即，

整理并解得：x=2（舍），或x=，

∴．

解析

（1）证明：连接BC1，交B1C于M，连接MP，

∵P是棱A1C1的中点，∴MP∥A1B，

∵A1B⊄平面B1PC，MP⊂平面B1PC，

∴A1B∥平面B1PC；

（2）解：∵A1B1⊥A1C1，A1B1⊥AA1，且AA1∩A1C=A1，

∴B1A1⊥平面ACC1A1，取A1C的中点O，连接MO，

则MO⊥平面ACC1A1，

过O作ON⊥PC，垂足是N，连接MN，则∠MNO为二面角

B1-CP-A的平面角，等于60°，

在Rt△MON中，∵OM==，

∴ON=，

∵AC=1，，∴，则OC=，

，

∴，

设PC1=x，PC2=x2+2，A1P=1-x，

∴，

即，

整理并解得：x=2（舍），或x=，

∴．

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题型：单选题

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单选题

正方体A′B′C′D′-ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（b＜a），Q点在D′C′上滑动，则四面体A′-EFQ的体积为（　　）

A与E、F位置有关

B与Q位置有关

C与E、F、Q位置都有关

D与E、F、Q位置均无关，是定值

正确答案

D

解析

解：∵|EF|=b，正方体A′B′C′D′-ABCD的棱长为a，

∴S△AEF=ab，

又点Q到面A′EF的距离为定值a，

∴VA′-EFQ=VQ-A′EF．=•ab•a=a2b（定值）．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：将该几何体还原成直观图，可得它是一个四棱柱，四棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长等于1；

上、下底面是直角梯形，该梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1，斜腰等于．

由此可得它的侧面积S侧=（1+1+2+）×1=4+，

∵底面积S底=（1+2）×1=，

∴四棱柱的表面积S=S侧+2S底=7+，体积为V=S底h=．

故选：C

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题型：单选题

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单选题

长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是（　　）

A

B

C

D6

正确答案

C

解析

解：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，

列出方程组，

解得

所以长方体的体积V=abc=1××=．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为______．

正确答案

2

解析

解：设长方体ABCD-A1B1C1D1 三棱分别是a，b，c，

于是列出方程 a2+b2=5，b2+c2=10，c2+a2=13 于是解出 a2=4，b2=1，c2=9，a=2，b=1，c=3，

即对于三棱分别为1，2，3的长方体去掉4个角就得到题中要求的四面体．

于是，所求四面体体积为：长方体体积-4个角上直四面体体积=1×2×3=2．

故答案为：2．

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