热门试卷

（1）证明：∵AB∥DE，AB⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，

∴DE∥平面PAB，

∵DE⊂α，α∩平面PAB=FG，

∴DE∥FG；

（2）解：由（1）知，F为棱PA的中点，G为棱PB的中点，

∴三棱锥G-PEF的体积=VB-PEF===

==．

解：（1）由于ABCD-A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，则AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，

又由AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，则=，故

则该棱柱的侧面积为．

（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，

∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，

∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，

在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到

而

∴⇔，则AA1=2，

故正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2．

（3）由于ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，

则三棱锥A-A1B1D1的体积为，

又由四面体AB1D1C的体积为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积减去四个三棱锥A-A1B1D1的体积

则四面体AB1D1C的体积为，

故四面体AB1D1C的体积为．

解：（Ⅰ）由已知易知OM是△BDP的中位线，

∴OM∥PD．

∵OM⊄面PAD，PD⊂面PAD

∴OM∥面PAD

（另证：也可先证明平面OMN∥平面DPA）

（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，

∴AB⊥PD，又AB⊥AD，、AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，

∴平面PAD⊥平面PAB，

又平面PAD∩平面PAB=PA，DF⊥PA，DF⊂平面PAD，

∴DF⊥平面PAB

（Ⅲ）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，

∴四面体D-MNB的高为DF，

在Rt△PDA中，DF=，

由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，又MN∥PA，

∴MN⊥NB，，

=，=．

解：（Ⅰ）由题意知，平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，

所以AE⊥面BCF，…（2分）

以B、C、D、F为顶点的三棱锥底面为△BCF，高为AE，

所以，…（4分）

当x=2时，，此时对应的点E为AB的中点．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）中知EA、EF、EB两两互相垂直，以E为原点，以EB为x轴、EF为y轴、EA为z轴建立空间直角坐标系，则

E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），设G（0，yo，0）

由CG⊥BD得，解得yo=2．…（8分）

所以，设平面BCD的法向量为，

由，

可取=（1，0，1），

所以sinθ=|cos＜，＞=即为所求．…（12分）

解：（1）在△ABC中，

因为AC=，AB=2，BC=1，

所以AC⊥BC，∠ABC=60，∠ADC=120°．

在△ADC中，由余弦定理可得DC=1，

又因为AC⊥FB，BC∩FB=B，

所以AC⊥平面FBC．

因为FC⊂平面FBC，

所以AC⊥FC，

因为CDEF为正方形，

所以DC⊥FC，FC=1，

因为AC∩DC=C，

所以FC⊥平面ABCD，即FC⊥BC，

所以VA-FBC===；

（2）M为线段AC的中点，EA∥平面FDM．

连结CE，与DF交于点N，连接MN．

因为CDEF为正方形，所以N为CE中点．

在△ACE中，EA∥MN．                                         

因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，

所以 EA∥平面FDM．