- 空间几何体的表面积与体积
- 共4499题
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：AC⊥BE；
（Ⅲ）三棱锥A-BEF的体积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（棱锥的体积V=
正确答案
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，
∴EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）证明：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，
∵BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE；
（Ⅲ）解：∵EF=
又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A-BEF的高，AO=
∴VA-BEF=
∴三棱锥A-BEF的体积为定值．
解析
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，
∴EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）证明：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，
∵BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE；
（Ⅲ）解：∵EF=
又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A-BEF的高，AO=
∴VA-BEF=
∴三棱锥A-BEF的体积为定值．
（1）求证：平面AEC1F⊥平面ACC1A1；
（2）求多面体AEC1FA1B1的体积．
正确答案
∵点E、F分别是BB1、DD1的中点，
∴AE=EC1=C1F=FA，
∴四边形AEC1F为菱形，
∴EF⊥AC1，
∵AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
∵EF∥BD，
∴EF⊥AA1，
∵EF⊥AC1，EF⊥AA1，AA1∩AC1=A，
∴EF⊥平面ACC1A1，
∵EF⊂平面AEC1F，∴平面AEC1F⊥平面ACC1A1；
（2）解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，
∴
∵点E是BB1的中点，BB1=6，
∴B1E=3，
∴
∴
∴多面体AEC1FA1B1的体积=36+54=90．
解析
∵点E、F分别是BB1、DD1的中点，
∴AE=EC1=C1F=FA，
∴四边形AEC1F为菱形，
∴EF⊥AC1，
∵AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
∵EF∥BD，
∴EF⊥AA1，
∵EF⊥AC1，EF⊥AA1，AA1∩AC1=A，
∴EF⊥平面ACC1A1，
∵EF⊂平面AEC1F，∴平面AEC1F⊥平面ACC1A1；
（2）解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，
∴
∵点E是BB1的中点，BB1=6，
∴B1E=3，
∴
∴
∴多面体AEC1FA1B1的体积=36+54=90．
四棱锥S-ABCD中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则直线EF与底面ABCD所成的角正切值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设底面对角线ABCD的交点为O，取OC的中点H，连接HE，HF，则∠EFH为直线EF与底面ABCD所成的角，
∵各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，
∴HE=
∴tan∠EFH=
故选：A．
已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（ ）
A
B2a2
C
D
正确答案
解析
解：设正方体的棱长为x，则有：a2=3x2，所以正方体的表面积是6x2=2a2．
故选B．
正确答案
解析
解：由三视图知几何体是一个正四棱锥，
四棱锥的底面是一个边长为
侧视图与正视图都是一个斜边长为
∴四棱锥的高是
∴四棱锥的体积是
故答案为：
（2015秋•邵阳县校级月考）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B-B1EF的体积为______．
正确答案
解析
E，F分别是棱AB，BC中点，
∴B1B⊥平面BEF，B1B=2，
S△BEF=
∴
=
故答案为：
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：AD⊥PB．
正确答案
（1）解：过P作PM⊥AD于M．
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PM⊂面PAD．
∴PM⊥面ABCD，
又PA=PD=5，AD=8．
∴M为AD的中点且PM=
∵
∴菱形ABCD的面积S=
∴VP-ABCD=
（2）证明：连接BM．
∵BD=BA=8，AM=DM，
∴AD⊥BM，
又AD⊥PM，且BM∩PM=M．
∴AD⊥平面PMB．
∴AD⊥PB．
解析
（1）解：过P作PM⊥AD于M．
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PM⊂面PAD．
∴PM⊥面ABCD，
又PA=PD=5，AD=8．
∴M为AD的中点且PM=
∵
∴菱形ABCD的面积S=
∴VP-ABCD=
（2）证明：连接BM．
∵BD=BA=8，AM=DM，
∴AD⊥BM，
又AD⊥PM，且BM∩PM=M．
∴AD⊥平面PMB．
∴AD⊥PB．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱锥C1-ABC的体积．
正确答案
且△AOD∽△B1OB，
∴
∵AO2+OD2=AD2，∴AB1⊥BD，
又CO⊥侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO，
又BD与CO交于点O，∴AB1⊥面CBD，
又∵BC⊂面CBD，∴BC⊥AB1．
（II）∵OC=OA=
由（1）知OC为三棱锥C-ABA1的高，
底面△ABA1为直角三角形，
∴
解析
且△AOD∽△B1OB，
∴
∵AO2+OD2=AD2，∴AB1⊥BD，
又CO⊥侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO，
又BD与CO交于点O，∴AB1⊥面CBD，
又∵BC⊂面CBD，∴BC⊥AB1．
（II）∵OC=OA=
由（1）知OC为三棱锥C-ABA1的高，
底面△ABA1为直角三角形，
∴
（1）求证：平面A1AE⊥D1DE平面；
（2）求三棱锥A-D1DE的体积；
（3）求点A1到平面D1DE的距离．
正确答案
解：（1）证明：在矩形ABCD中，E是BC的中点，AB=1，AD=2，
则∠AEB=∠DEC=45°
则AE⊥ED，
又∵AE⊥DD1；
则AE⊥平面D1DE；
∴平面A1AE⊥平面D1DE；
（2）AE=ED=
S△D1DE=
h=
V=
（3）∵AA1∥平面D1DE，
∴点A1到平面D1DE的距离等于点A到平面D1DE的距离；
∴点A1到平面D1DE的距离为
解析
解：（1）证明：在矩形ABCD中，E是BC的中点，AB=1，AD=2，
则∠AEB=∠DEC=45°
则AE⊥ED，
又∵AE⊥DD1；
则AE⊥平面D1DE；
∴平面A1AE⊥平面D1DE；
（2）AE=ED=
S△D1DE=
h=
V=
（3）∵AA1∥平面D1DE，
∴点A1到平面D1DE的距离等于点A到平面D1DE的距离；
∴点A1到平面D1DE的距离为
如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，AC∩BD=H．沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：（提示：设OH=x）
（ⅰ）求四棱锥P-BDEF的体积；
（ⅱ）若点Q在线段AP上，试探究：直线OQ与平面E所成角是否一定大于或等于45°？并说明你的理由．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，…（1分）
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，
且PO⊂平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，…（2分）
∵BD⊂平面ABFED，
∴PO⊥BD．…（3分）
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2
又设PO=x，则OH=2
O（0，0，0），P（0，0，x），B（2
故
∴|
∴当x=
此时PO=
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，
∴V=
（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=
∴
设
则Q（
∴
设平面PBD的法向量为
取x=1，解得：y=0，z=1，
∴
设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜
又∵λ＞0∴sinθ＞
∵θ∈[0，
因此直线OQ与平面PBD所成角大于
解析
（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，…（1分）
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，
且PO⊂平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，…（2分）
∵BD⊂平面ABFED，
∴PO⊥BD．…（3分）
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2
又设PO=x，则OH=2
O（0，0，0），P（0，0，x），B（2
故
∴|
∴当x=
此时PO=
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，
∴V=
（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=
∴
设
则Q（
∴
设平面PBD的法向量为
取x=1，解得：y=0，z=1，
∴
设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜
又∵λ＞0∴sinθ＞
∵θ∈[0，
因此直线OQ与平面PBD所成角大于
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