热门试卷

（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接PG、GB、BD∵PA=PD，

∴PG⊥AD．（2分）

∵AB=AD，且∠DAB=60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，

又∵PG∩BG=G，PG、BG⊂平面PGB

∴AD⊥平面PGB．

∴AD⊥PB．（5分）

（Ⅱ）解：存在，理由如下：

分别取PA、AB的中点M、N，连结CM、MN、NC，则MN∥PA；

∵ABCD是梯形，且DC平行且等于AB，

∴DC平行且等于AN，于是，四边形ANCD为平行四边形，

∴平面CMN∥平面PAD．

由（Ⅰ）知，MN=1，CN=2，在△PBC与在△CBM中：，

∴△PBC∽△CBM，得CM=，∴△CBM是直角三角形，

∴．…（12分）

解：由于台体的体积V=（S++S′）h，

则h==cm．

故它的深度为75cm．

（Ⅰ）证明：在△AOD中，

∵，OA=OD，

∴△AOD为正三角形，

又∵E为OA的中点，

∴DE⊥AO…（1分）

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

∴DE⊥平面ABC．      …（3分）

又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE．     …5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，

∴DE为三棱锥D-BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴，

在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．     …（6分）

∵，

∴==．    …（8分）

（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点．       …（9分）

证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，

∵OG⊄平面ACD，∴OG∥平面ACD．      …（10分）

在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，

∴OF∥AC，OF⊄平面ACD，∴OF∥平面ACD，…（11分）

∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．

又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD．      …（12分）

（Ⅰ）证明：如图，设F为A′B的中点，连结PF，FE．

则有EF∥BC，EF=BC，PD∥BC，PD=BC，

∴DE∥PF，又A′P=PB，

∴PF⊥A′B，

故A′B⊥DE．

（Ⅱ）解：令PA=x（0＜x＜2），则A′P=PD=x，BP=2-x．

∵A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，

∴A′P⊥平面PBCD．

∴VA′-PBCD=Sh=（2-x）（2+x）x=（4x-x3）．

令f（x）=（4x-x3），

由f′（x）=（4-3x2）=0，得x=．

当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

∴当x=时，f（x）取得最大值，

故当VA′-PBCD最大时，PA=．

（1）证明：连接DG，则AF⊥DG，

∵AF⊥CD，CD∩DG=D，

∴AF⊥平面CDGE，

∵CE⊂平面CDGE，

∴AF⊥CE；

（2）解：多面体EFG-ABCD的体积=正方体ABCD-GPHF-四棱锥C-HFEP

=23-=7．

解：（1）取A1C1中点N，则A1N=1，

取B1C1的中点为E，连结BE，EN则EN∥A1B1，

又A1B1∥BM，∴EN∥BM，且，

∴四边形ENBM为平行四边形，

∴有MN∥BE，即MN∥面B1C1CB，此时A1N=1；

（2）∵，，

∴=，

=，

∴==3-1=2．

解：（1）因为ABCD为直角梯形，沿EF将梯形ABCD翻折后，平面AEFD⊥平面EBCF；所以三棱锥D-BCF的高为AE所以三棱锥D-BCF的体积为：（4分）

所以

所以当x=2时，f（x）取最大值为（7分）

（2）作DH⊥EF于H，连接HB，

因为平面AEFD⊥平面EBCF；

所以DH⊥面BCFE，所以∠DBH就是所求的BD与平面BCFE所成角（10分）

容易计算得，DH=2，，R所以

所以（13分）

所以，BD与平面BCFE所成角的正弦值为（14分）