热门试卷

解：∵圆锥内水面高为h1满足h1=，

∴两个圆锥体积之比为

即水的体积与容器体积之比为1-=，

由此可得：倒置后

∴，得，即h2=h．

解：如图所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC与△BCD均为边长为a的正三角形，

取BC中点E，连接AE，则AE⊥平面BCD，

故棱锥A-BCD的高为AE，△BCD的面积为a2，AE=a，

∴这个棱锥的体积VA-BCD=•a2•a=a3．

连接DE，∵AE⊥平面BCD，DE⊂平面BCD，∴AE⊥DE，

在Rt△AED中，AE=ED=a，

∴AD=•a=a．

取AD中点F，连接CF，则CF⊥AD．

在Rt△CDF中，DF=•a=a，

∴CF=a．

∴S△ACD=AD•CF=a×a=a2．

∵△ABD≌△ACD，S△ABD=a2．

故S全面积=a2+a2+2×a2=a2．

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，

∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，

∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，

∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．

（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，

∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．

∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，

∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，

∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，

∴AO=CO=，

∴多面体ABCDEF的体积：

V=2VA-BDEF=2×

=2×

=．

（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂面ABCD，

∴PA⊥BD．

∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，

∴PC⊥BD．

又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC．…（6分）

（Ⅱ）解：如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．

∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．

由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，

由题设条件知，四边形ABCD为正方形．

由AD=2，得AC=BD=2，OC=．

在Rt△PAC中，PC===3．

易知Rt△PAC∽Rt△OEC，

∴==，即==，∴OE=，CE=．

∴VE-BCD=S△CEO•BD=•OE•CE•BD=•••2=．…（13分）

（Ⅰ）证明：E、F分别为D1D，DB的中点，

则CF⊥BD，又CF⊥D1D

∴CF⊥平面BB1D1D，…（3分）

∵CF⊂平面CFB1，∴平面CFB1⊥平面EFB1；　…（6分）

（Ⅱ）解：∵CF⊥平面BB1D1D，∴CF⊥平面EFB1，，

∵，，

∴EF2+B1F2=B1E2，即∠EFB1=90°，…（9分）

∴==××CF=，

由解得a=2…（12分）

解：旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，

因为-----（4分）

-----（8分）

所以-----（12分）