热门试卷

（1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．

所以在△CPA中，EF∥PA，

又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

所以EF∥平面PAD；

（2）证明：平面PAD⊥平面ABCD

平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA

正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD

又PA=PD=，AD=2，所以PA2+PD2=AD2

所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD．

因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC

所以PA⊥面PDC

又PA⊂面PAB，

所以面PAB⊥面PDC．

（3）解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD=2，

因为S△PAD==1

所以VP-ADC=VC-PAD==，

所以VP-ABCD=2VP-ADC=．

（1）证明：连结AC，交BD于点O，

∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

∴O是AC中点，

在△PAC中，点M的是PC的中点，

MO是中位线，∴MO∥PA，

又MO⊂面MBD，PA⊄面MBD，∴PA∥面MBD．

（2）解：由题意，VP-ABCD==，

VM-BDC==，

∴多面体PDABM的体积V=2，

∴三棱锥M-BDC与多面体PDABM的体积之比为．

（I）证明：由题意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，

取BE的中点O，连接AO、FO、CO、AC，则BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，

∴∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，

设AB=2a，则AO=FO=CO=，AC=，

在△AOC中，，

在△FOC中，

∴∠AOC+∠FOC=180°，即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，

∴ABFE四点共面，

又AB=BF=FE=EA，故AE∥BF．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，四边形ABFE四边形CDEF都是菱形，

∴过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，

连接BD、FD，

则VF-ABCD=VF-BCD+VF-ABD=2VF-BCD=2VB-CDF=2VA-DEF，

∴截面把多面体分成上、下两部分的体积比为1：2．

（Ⅰ）证明：在△PDB中，因为点E是BD中点，点F是PD中点，

所以EF∥PB．

又因为EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

所以EF∥平面PBC．…（4分）

（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，且CE⊂平面ABCD，

所以PD⊥CE．

又因为底面ABCD是正方形，且点E是BD的中点，

所以CE⊥BD．

因为BD∩PD=D，所以CE⊥平面PBD，

而BF⊂平面PCD，所以CE⊥BF． …（9分）

（Ⅲ）解：点F为边PD上靠近D点的三等分点．

说明如下：

由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．

又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD．

设PF=x． 由AB=2得BD=2，CE=，

所以VP-BCF=VC-BPF===．

由已知=，所以x=2．

因为PD=3，所以点F为边PD上靠近D点的三等分点．…（14分）